微分積分例

$g (t) = t^{2} - \frac{1}{t^{3}}$

ステップ 1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $t^{2} - \frac{1}{t^{3}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{3}}]$ です。

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{3}}]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 t + \frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{3}}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{3}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (t) = - 1$ および $g (t) = \frac{1}{t^{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 t - \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}] + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 2.2

$\frac{1}{t^{3}}$ を ${(t^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$2 t - \frac{d}{d t} [{(t^{3})}^{- 1}] + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 2.3

$f (t) = t^{- 1}$ および $g (t) = t^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $t^{3}$ とします。

$2 t - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 t - (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $t^{3}$ で置き換えます。

$2 t - (- {(t^{3})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{3}]) + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 2.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 t - (- {(t^{3})}^{- 2} (3 t^{2})) + \frac{1}{t^{3}} \frac{d}{d t} [- 1]$

ステップ 2.5

$- 1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 t - (- {(t^{3})}^{- 2} (3 t^{2})) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

ステップ 2.6

${(t^{3})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 t - (- t^{3 \cdot - 2} (3 t^{2})) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

ステップ 2.6.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$2 t - (- t^{- 6} (3 t^{2})) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

ステップ 2.7

$3$ に $- 1$ をかけます。

$2 t - (- 3 t^{- 6} t^{2}) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

ステップ 2.8

指数を足して $t^{- 6}$ に $t^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

$t^{2}$ を移動させます。

$2 t - (- 3 (t^{2} t^{- 6})) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

ステップ 2.8.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 t - (- 3 t^{2 - 6}) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

ステップ 2.8.3

$2$ から $6$ を引きます。

$2 t - (- 3 t^{- 4}) + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

ステップ 2.9

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$2 t + 3 t^{- 4} + \frac{1}{t^{3}} \cdot 0$

ステップ 2.10

$\frac{1}{t^{3}}$ に $0$ をかけます。

$2 t + 3 t^{- 4} + 0$

ステップ 2.11

$3 t^{- 4}$ と $0$ をたし算します。

$2 t + 3 t^{- 4}$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 t + 3 \frac{1}{t^{4}}$

ステップ 3.2

$3$ と $\frac{1}{t^{4}}$ をまとめます。

$2 t + \frac{3}{t^{4}}$

微分積分 例

微分積分例