微分積分例

$\ln (t^{2} + 8)$

ステップ 1

$f (t) = \ln (t)$ および $g (t) = t^{2} + 8$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $t^{2} + 8$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t^{2} + 8]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t^{2} + 8]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $t^{2} + 8$ で置き換えます。

$\frac{1}{t^{2} + 8} \frac{d}{d t} [t^{2} + 8]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $t^{2} + 8$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [8]$ です。

$\frac{1}{t^{2} + 8} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [8])$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{t^{2} + 8} (2 t + \frac{d}{d t} [8])$

ステップ 2.3

$8$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{t^{2} + 8} (2 t + 0)$

ステップ 2.4

分数をまとめます。

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ステップ 2.4.1

$2 t$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{t^{2} + 8} (2 t)$

ステップ 2.4.2

$2$ と $\frac{1}{t^{2} + 8}$ をまとめます。

$\frac{2}{t^{2} + 8} t$

ステップ 2.4.3

$\frac{2}{t^{2} + 8}$ と $t$ をまとめます。

$\frac{2 t}{t^{2} + 8}$

微分積分 例