微分積分例

$f (t) = 5 t^{5} + \sqrt{t^{3}}$

ステップ 1

総和則では、 $5 t^{5} + \sqrt{t^{3}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [5 t^{5}] + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$ です。

$\frac{d}{d t} [5 t^{5}] + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d t} [5 t^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $5 t^{5}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d t} [t^{5}]$ です。

$5 \frac{d}{d t} [t^{5}] + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$

ステップ 2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (5 t^{4}) + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$

ステップ 2.3

$5$ に $5$ をかけます。

$25 t^{4} + \frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d t} [\sqrt{t^{3}}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t^{3}}$ を $t^{\frac{3}{2}}$ に書き換えます。

$25 t^{4} + \frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 3.2

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$25 t^{4} + \frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1}$

ステップ 3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$25 t^{4} + \frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 3.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$25 t^{4} + \frac{3}{2} t^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$25 t^{4} + \frac{3}{2} t^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 3.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$25 t^{4} + \frac{3}{2} t^{\frac{3 - 2}{2}}$

ステップ 3.6.2

$3$ から $2$ を引きます。

$25 t^{4} + \frac{3}{2} t^{\frac{1}{2}}$

ステップ 4

$\frac{3}{2}$ と $t^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$25 t^{4} + \frac{3 t^{\frac{1}{2}}}{2}$

微分積分 例