微分積分例

$g (t) = \frac{1 - 2 t}{t + 3}$

ステップ 1

$f (t) = 1 - 2 t$ および $g (t) = t + 3$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(t + 3) \frac{d}{d t} [1 - 2 t] - (1 - 2 t) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $1 - 2 t$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 2 t]$ です。

$\frac{(t + 3) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 2 t]) - (1 - 2 t) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

ステップ 2.2

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(t + 3) (0 + \frac{d}{d t} [- 2 t]) - (1 - 2 t) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d t} [- 2 t]$ をたし算します。

$\frac{(t + 3) \frac{d}{d t} [- 2 t] - (1 - 2 t) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

ステップ 2.4

$- 2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 2 t$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{(t + 3) (- 2 \frac{d}{d t} [t]) - (1 - 2 t) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(t + 3) (- 2 \cdot 1) - (1 - 2 t) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(t + 3) \cdot - 2 - (1 - 2 t) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

ステップ 2.6.2

$- 2$ を $t + 3$ の左に移動させます。

$\frac{- 2 \cdot (t + 3) - (1 - 2 t) \frac{d}{d t} [t + 3]}{{(t + 3)}^{2}}$

ステップ 2.7

総和則では、 $t + 3$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$ です。

$\frac{- 2 (t + 3) - (1 - 2 t) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3])}{{(t + 3)}^{2}}$

ステップ 2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{- 2 (t + 3) - (1 - 2 t) (1 + \frac{d}{d t} [3])}{{(t + 3)}^{2}}$

ステップ 2.9

$3$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{- 2 (t + 3) - (1 - 2 t) (1 + 0)}{{(t + 3)}^{2}}$

ステップ 2.10

式を簡約します。

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ステップ 2.10.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 2 (t + 3) - (1 - 2 t) \cdot 1}{{(t + 3)}^{2}}$

ステップ 2.10.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 2 (t + 3) - (1 - 2 t)}{{(t + 3)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 t - 2 \cdot 3 - (1 - 2 t)}{{(t + 3)}^{2}}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 t - 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 - (- 2 t)}{{(t + 3)}^{2}}$

ステップ 3.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$- 2$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 2 t - 6 - 1 \cdot 1 - (- 2 t)}{{(t + 3)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 2 t - 6 - 1 - (- 2 t)}{{(t + 3)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2 t - 6 - 1 + 2 t}{{(t + 3)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$- 2 t - 6 - 1 + 2 t$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.3.2.1

$- 2 t$ と $2 t$ をたし算します。

$\frac{0 - 6 - 1}{{(t + 3)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.2

$0$ から $6$ を引きます。

$\frac{- 6 - 1}{{(t + 3)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$- 6$ から $1$ を引きます。

$\frac{- 7}{{(t + 3)}^{2}}$

ステップ 3.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{7}{{(t + 3)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例