微分積分例

$f (t) = \frac{e^{5 t} + e^{- 5 t}}{e^{3 t}}$

ステップ 1

$f (t) = e^{5 t} + e^{- 5 t}$ および $g (t) = e^{3 t}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{e^{3 t} \frac{d}{d t} [e^{5 t} + e^{- 5 t}] - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{{(e^{3 t})}^{2}}$

ステップ 2

和の法則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

${(e^{3 t})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{e^{3 t} \frac{d}{d t} [e^{5 t} + e^{- 5 t}] - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{3 t \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{e^{3 t} \frac{d}{d t} [e^{5 t} + e^{- 5 t}] - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $e^{5 t} + e^{- 5 t}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [e^{5 t}] + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]$ です。

$\frac{e^{3 t} (\frac{d}{d t} [e^{5 t}] + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

ステップ 3

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = 5 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $5 t$ とします。

$\frac{e^{3 t} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{e^{3 t} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

ステップ 3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $5 t$ で置き換えます。

$\frac{e^{3 t} (e^{5 t} \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

ステップ 4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $5 t$ の微分係数は $5 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{e^{3 t} (e^{5 t} (5 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{3 t} (e^{5 t} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

ステップ 4.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{3 t} (e^{5 t} \cdot 5 + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

ステップ 4.3.2

$5$ を $e^{5 t}$ の左に移動させます。

$\frac{e^{3 t} (5 \cdot e^{5 t} + \frac{d}{d t} [e^{- 5 t}]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

ステップ 5

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = - 5 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- 5 t$ とします。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 5 t]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

ステップ 5.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} + e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 5 t]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

ステップ 5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- 5 t$ で置き換えます。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} + e^{- 5 t} \frac{d}{d t} [- 5 t]) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

ステップ 6

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$- 5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 5 t$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} + e^{- 5 t} (- 5 \frac{d}{d t} [t])) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

ステップ 6.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} + e^{- 5 t} (- 5 \cdot 1)) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

ステップ 6.3

式を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$- 5$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} + e^{- 5 t} \cdot - 5) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

ステップ 6.3.2

$- 5$ を $e^{- 5 t}$ の左に移動させます。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 \cdot e^{- 5 t}) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) \frac{d}{d t} [e^{3 t}]}{e^{6 t}}$

ステップ 7

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = 3 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $3 t$ とします。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [3 t])}{e^{6 t}}$

ステップ 7.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ は $a^{u_{3}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [3 t])}{e^{6 t}}$

ステップ 7.3

$u_{3}$ のすべての発生を $3 t$ で置き換えます。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) (e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t])}{e^{6 t}}$

ステップ 8

微分します。

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ステップ 8.1

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - (e^{5 t} + e^{- 5 t}) (e^{3 t} (3 \frac{d}{d t} [t]))}{e^{6 t}}$

ステップ 8.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - 3 (e^{5 t} + e^{- 5 t}) (e^{3 t} (\frac{d}{d t} [t]))}{e^{6 t}}$

ステップ 8.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - 3 (e^{5 t} + e^{- 5 t}) (e^{3 t} \cdot 1)}{e^{6 t}}$

ステップ 8.4

$e^{3 t}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t} - 5 e^{- 5 t}) - 3 (e^{5 t} + e^{- 5 t}) e^{3 t}}{e^{6 t}}$

ステップ 9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t}) + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) - 3 (e^{5 t} + e^{- 5 t}) e^{3 t}}{e^{6 t}}$

ステップ 9.2

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t}) + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) + (- 3 e^{5 t} - 3 e^{- 5 t}) e^{3 t}}{e^{6 t}}$

ステップ 9.3

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{3 t} (5 e^{5 t}) + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

ステップ 9.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{5 e^{3 t} e^{5 t} + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

ステップ 9.4.1.2

指数を足して $e^{3 t}$ に $e^{5 t}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.1.2.1

$e^{5 t}$ を移動させます。

$\frac{5 (e^{5 t} e^{3 t}) + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

ステップ 9.4.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5 e^{5 t + 3 t} + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

ステップ 9.4.1.2.3

$5 t$ と $3 t$ をたし算します。

$\frac{5 e^{8 t} + e^{3 t} (- 5 e^{- 5 t}) - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

ステップ 9.4.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{3 t} e^{- 5 t} - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

ステップ 9.4.1.4

指数を足して $e^{3 t}$ に $e^{- 5 t}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.1.4.1

$e^{- 5 t}$ を移動させます。

$\frac{5 e^{8 t} - 5 (e^{- 5 t} e^{3 t}) - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

ステップ 9.4.1.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 5 t + 3 t} - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

ステップ 9.4.1.4.3

$- 5 t$ と $3 t$ をたし算します。

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{5 t} e^{3 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

ステップ 9.4.1.5

指数を足して $e^{5 t}$ に $e^{3 t}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.1.5.1

$e^{3 t}$ を移動させます。

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 (e^{3 t} e^{5 t}) - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

ステップ 9.4.1.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{3 t + 5 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

ステップ 9.4.1.5.3

$3 t$ と $5 t$ をたし算します。

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{8 t} - 3 e^{- 5 t} e^{3 t}}{e^{6 t}}$

ステップ 9.4.1.6

指数を足して $e^{- 5 t}$ に $e^{3 t}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.1.6.1

$e^{3 t}$ を移動させます。

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{8 t} - 3 (e^{3 t} e^{- 5 t})}{e^{6 t}}$

ステップ 9.4.1.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{8 t} - 3 e^{3 t - 5 t}}{e^{6 t}}$

ステップ 9.4.1.6.3

$3 t$ から $5 t$ を引きます。

$\frac{5 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{8 t} - 3 e^{- 2 t}}{e^{6 t}}$

ステップ 9.4.2

$5 e^{8 t}$ から $3 e^{8 t}$ を引きます。

$\frac{2 e^{8 t} - 5 e^{- 2 t} - 3 e^{- 2 t}}{e^{6 t}}$

ステップ 9.4.3

$- 5 e^{- 2 t}$ から $3 e^{- 2 t}$ を引きます。

$\frac{2 e^{8 t} - 8 e^{- 2 t}}{e^{6 t}}$

ステップ 9.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.1

$2$ を $2 e^{8 t} - 8 e^{- 2 t}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.1.1

$2$ を $2 e^{8 t}$ で因数分解します。

$\frac{2 (e^{8 t}) - 8 e^{- 2 t}}{e^{6 t}}$

ステップ 9.5.1.2

$2$ を $- 8 e^{- 2 t}$ で因数分解します。

$\frac{2 (e^{8 t}) + 2 (- 4 e^{- 2 t})}{e^{6 t}}$

ステップ 9.5.1.3

$2$ を $2 (e^{8 t}) + 2 (- 4 e^{- 2 t})$ で因数分解します。

$\frac{2 (e^{8 t} - 4 e^{- 2 t})}{e^{6 t}}$

ステップ 9.5.2

$e^{8 t}$ を ${(e^{4 t})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 ({(e^{4 t})}^{2} - 4 e^{- 2 t})}{e^{6 t}}$

ステップ 9.5.3

$4 e^{- 2 t}$ を ${(2 e^{- t})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 ({(e^{4 t})}^{2} - {(2 e^{- t})}^{2})}{e^{6 t}}$

ステップ 9.5.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e^{4 t}$ であり、 $b = 2 e^{- t}$ です。

$\frac{2 ((e^{4 t} + 2 e^{- t}) (e^{4 t} - (2 e^{- t})))}{e^{6 t}}$

ステップ 9.5.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (e^{4 t} + 2 e^{- t}) (e^{4 t} - 2 e^{- t})}{e^{6 t}}$

微分積分 例

微分積分例