微分積分例

$a (1 - e^{- k t}) + b$

ステップ 1

総和則では、 $a (1 - e^{- k t}) + b$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})] + \frac{d}{d t} [b]$ です。

$\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})] + \frac{d}{d t} [b]$

ステップ 2

$\frac{d}{d t} [a (1 - e^{- k t})]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$a$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $a (1 - e^{- k t})$ の微分係数は $a \frac{d}{d t} [1 - e^{- k t}]$ です。

$a \frac{d}{d t} [1 - e^{- k t}] + \frac{d}{d t} [b]$

ステップ 2.2

総和則では、 $1 - e^{- k t}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]$ です。

$a (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

ステップ 2.3

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$a (0 + \frac{d}{d t} [- e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

ステップ 2.4

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- e^{- k t}$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [e^{- k t}]$ です。

$a (0 - \frac{d}{d t} [e^{- k t}]) + \frac{d}{d t} [b]$

ステップ 2.5

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = - k t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- k t$ とします。

$a (0 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

ステップ 2.5.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$a (0 - (e^{u} \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

ステップ 2.5.3

$u$ のすべての発生を $- k t$ で置き換えます。

$a (0 - (e^{- k t} \frac{d}{d t} [- k t])) + \frac{d}{d t} [b]$

ステップ 2.6

$- k$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- k t$ の微分係数は $- k \frac{d}{d t} [t]$ です。

$a (0 - (e^{- k t} (- k \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [b]$

ステップ 2.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$a (0 - (e^{- k t} (- k \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [b]$

ステップ 2.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$a (0 - (e^{- k t} (- k))) + \frac{d}{d t} [b]$

ステップ 2.9

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$a (0 + 1 (e^{- k t} (k))) + \frac{d}{d t} [b]$

ステップ 2.10

$e^{- k t}$ に $1$ をかけます。

$a (0 + e^{- k t} k) + \frac{d}{d t} [b]$

ステップ 2.11

$0$ と $e^{- k t} k$ をたし算します。

$a e^{- k t} k + \frac{d}{d t} [b]$

ステップ 3

$b$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $b$ の微分係数は $0$ です。

$a e^{- k t} k + 0$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$a e^{- k t} k$ と $0$ をたし算します。

$a e^{- k t} k$

ステップ 4.2

$a e^{- k t} k$ の因数を並べ替えます。

$e^{- k t} a k$

ステップ 4.3

$e^{- k t} a k$ の因数を並べ替えます。

$a k e^{- k t}$

微分積分 例

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