微分積分例

$7 t e^{- \frac{t}{15}}$

ステップ 1

$7$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $7 t e^{- \frac{t}{15}}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d t} [t e^{- \frac{t}{15}}]$ です。

$7 \frac{d}{d t} [t e^{- \frac{t}{15}}]$

ステップ 2

$f (t) = t$ および $g (t) = e^{- \frac{t}{15}}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$7 (t \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{15}}] + e^{- \frac{t}{15}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = - \frac{t}{15}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- \frac{t}{15}$ とします。

$7 (t (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- \frac{t}{15}]) + e^{- \frac{t}{15}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$7 (t (e^{u} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{15}]) + e^{- \frac{t}{15}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $- \frac{t}{15}$ で置き換えます。

$7 (t (e^{- \frac{t}{15}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{15}]) + e^{- \frac{t}{15}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$- \frac{1}{15}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- \frac{t}{15}$ の微分係数は $- \frac{1}{15} \frac{d}{d t} [t]$ です。

$7 (t (e^{- \frac{t}{15}} (- \frac{1}{15} \frac{d}{d t} [t])) + e^{- \frac{t}{15}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$e^{- \frac{t}{15}}$ と $\frac{1}{15}$ をまとめます。

$7 (t (- \frac{e^{- \frac{t}{15}}}{15} \frac{d}{d t} [t]) + e^{- \frac{t}{15}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4.2.2

$t$ と $\frac{e^{- \frac{t}{15}}}{15}$ をまとめます。

$7 (- \frac{t e^{- \frac{t}{15}}}{15} \frac{d}{d t} [t] + e^{- \frac{t}{15}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 (- \frac{t e^{- \frac{t}{15}}}{15} \cdot 1 + e^{- \frac{t}{15}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$7 (- \frac{t e^{- \frac{t}{15}}}{15} + e^{- \frac{t}{15}} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 (- \frac{t e^{- \frac{t}{15}}}{15} + e^{- \frac{t}{15}} \cdot 1)$

ステップ 4.6

$e^{- \frac{t}{15}}$ に $1$ をかけます。

$7 (- \frac{t e^{- \frac{t}{15}}}{15} + e^{- \frac{t}{15}})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$7 (- \frac{t e^{- \frac{t}{15}}}{15}) + 7 e^{- \frac{t}{15}}$

ステップ 5.2

項をまとめます。

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ステップ 5.2.1

$- 1$ に $7$ をかけます。

$- 7 \frac{t e^{- \frac{t}{15}}}{15} + 7 e^{- \frac{t}{15}}$

ステップ 5.2.2

$- 7$ と $\frac{t e^{- \frac{t}{15}}}{15}$ をまとめます。

$\frac{- 7 (t e^{- \frac{t}{15}})}{15} + 7 e^{- \frac{t}{15}}$

ステップ 5.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{7 t e^{- \frac{t}{15}}}{15} + 7 e^{- \frac{t}{15}}$

微分積分 例

微分積分例