微分積分例

$\frac{x^{3} + 27}{x^{3}}$

ステップ 1

$f (x) = x^{3} + 27$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 27] - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

${(x^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 27] - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 27] - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $x^{3} + 27$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [27]$ です。

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [27]) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 2.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [27]) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 2.4

$27$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $27$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{3} (3 x^{2} + 0) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 2.5

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{3} (3 x^{2}) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 3

指数を足して $x^{3}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{x^{2} x^{3} \cdot 3 - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{2 + 3} \cdot 3 - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 3.3

$2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{x^{5} \cdot 3 - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 4

$3$ を $x^{5}$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot x^{5} - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 5

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 x^{5} - (x^{3} + 27) (3 x^{2})}{x^{6}}$

ステップ 6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 x^{5} - 3 (x^{3} + 27) x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x^{5} + (- 3 x^{3} - 3 \cdot 27) x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x^{5} - 3 x^{3} x^{2} - 3 \cdot 27 x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 7.3

分子を簡約します。

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ステップ 7.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

指数を足して $x^{3}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 7.3.1.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{3 x^{5} - 3 (x^{2} x^{3}) - 3 \cdot 27 x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 7.3.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 x^{5} - 3 x^{2 + 3} - 3 \cdot 27 x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 7.3.1.1.3

$2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{3 x^{5} - 3 x^{5} - 3 \cdot 27 x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 7.3.1.2

$- 3$ に $27$ をかけます。

$\frac{3 x^{5} - 3 x^{5} - 81 x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 7.3.2

$3 x^{5}$ から $3 x^{5}$ を引きます。

$\frac{0 - 81 x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 7.3.3

$0$ から $81 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 81 x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 7.4

項をまとめます。

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ステップ 7.4.1

$x^{2}$ と $x^{6}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.1.1

$x^{2}$ を $- 81 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} \cdot - 81}{x^{6}}$

ステップ 7.4.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.1.2.1

$x^{2}$ を $x^{6}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} \cdot - 81}{x^{2} x^{4}}$

ステップ 7.4.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} \cdot - 81}{x^{2} x^{4}}$

ステップ 7.4.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 81}{x^{4}}$

ステップ 7.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{81}{x^{4}}$

微分積分 例

微分積分例