微分積分例

$\frac{x^{3} - 4 x}{\sqrt{x}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} - 4 x}{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2

$x$ を $x^{3} - 4 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot x^{2} - 4 x}{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.2

$x$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 4}{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.3

$x$ を $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} - 4)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 3

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 4) x^{- \frac{1}{2}}]$

ステップ 4

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 4.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} x (x^{2} - 4)]$

ステップ 4.2

$x^{- \frac{1}{2}}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} x^{1} (x^{2} - 4)]$

ステップ 4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + 1} (x^{2} - 4)]$

ステップ 4.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (x^{2} - 4)]$

ステップ 4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1 + 2}{2}} (x^{2} - 4)]$

ステップ 4.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 4)]$

ステップ 5

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

総和則では、 $x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 6.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 6.3

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$x^{\frac{1}{2}} (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 6.4

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$x^{\frac{1}{2}} (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 7

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 7.1

$x$ を移動させます。

$x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 7.2

$x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 7.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 7.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 7.4

公分母の分子をまとめます。

$x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 7.5

$2$ と $1$ をたし算します。

$x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 8

$2$ を $x^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$2 \cdot x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 9

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 10

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 11

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 12

公分母の分子をまとめます。

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 13

分子を簡約します。

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ステップ 13.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 13.2

$1$ から $2$ を引きます。

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 14

分数の前に負数を移動させます。

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 15

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 16

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$2 x^{\frac{3}{2}} + (x^{2} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17

簡約します。

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ステップ 17.1

分配則を当てはめます。

$2 x^{\frac{3}{2}} + x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2

項をまとめます。

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ステップ 17.2.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{2}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{2} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2.3

指数を足して $x^{2}$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 17.2.3.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{2 - \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2.3.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2.3.3

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2.3.4

公分母の分子をまとめます。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 17.2.3.5.1

$2$ に $2$ をかけます。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{4 - 1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2.3.5.2

$4$ から $1$ を引きます。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2.4

$- 4$ と $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2.5

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2.6

共通因数を約分します。

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ステップ 17.2.6.1

$2$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 17.2.6.2

共通因数を約分します。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2.6.3

式を書き換えます。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2.8

$2 x^{\frac{3}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2.9

$2 x^{\frac{3}{2}}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2.11

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2.12

$4 x^{\frac{3}{2}}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をたし算します。

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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