微分積分例

$\frac{x^{2} - x - 2}{x - 2}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} - x - 2$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2] - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} - x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(x - 2) (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 2) (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x - 2) (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.6

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - 2) (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.7

$2 x - 1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - 2) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.8

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{(x - 2) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 2) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.10

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - 2) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - 2) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2.11.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x - 2) (2 x - 1) - (x^{2} - x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(x - 2) (2 x - 1) - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2) (2 x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1) - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 1 - 2 (2 x - 1) - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.1.3

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{2 x^{2} - 1 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{2 x^{2} - x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.1.5

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - x - 4 x - 2 \cdot - 1 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.1.6

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - x - 4 x + 2 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.2

$- x$ から $4 x$ を引きます。

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2 - x^{2} - - x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3

$- - x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2 - x^{2} + 1 x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2 - x^{2} + x - - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.4

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 5 x + 2 - x^{2} + x + 2}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 5 x + 2 + x + 2}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$- 5 x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - 4 x + 2 + 2}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2.4

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} - 4 x + 2^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 3.3.3

多項式を書き換えます。

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.4

${(x - 2)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.4.2

式を書き換えます。

$1$

微分積分 例

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