微分積分例

$\frac{x^{3}}{9} \cdot (3 \ln (x - 1))$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$3$ と $\frac{x^{3}}{9}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{3}}{9} \cdot \ln (x - 1)]$

ステップ 1.2

項を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$\frac{3 x^{3}}{9}$ と $\ln (x - 1)$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{3} \ln (x - 1)}{9}]$

ステップ 1.2.2

$3$ と $9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1

$3$ を $3 x^{3} \ln (x - 1)$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (x^{3} \ln (x - 1))}{9}]$

ステップ 1.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (x^{3} \ln (x - 1))}{3 \cdot 3}]$

ステップ 1.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 (x^{3} \ln (x - 1))}{3 \cdot 3}]$

ステップ 1.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} \ln (x - 1)}{3}]$

ステップ 1.3

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x^{3} \ln (x - 1)}{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x - 1)]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x - 1)]$

ステップ 2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \ln (x - 1)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)] + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 1$ とします。

$\frac{1}{3} (x^{3} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{3} (x^{3} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} (x^{3} (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{x - 1}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1] + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} (1 + 0) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.5

式を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} \cdot 1 + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.5.2

$\frac{x^{3}}{x - 1}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.6

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} + \ln (x - 1) (3 x^{2}))$

ステップ 5

$\ln (x - 1) (3 x^{2})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 1}{x - 1}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x - 1} + \frac{\ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{x - 1})$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{x - 1}$

ステップ 7

$\frac{1}{3}$ に $\frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{x - 1}$ をかけます。

$\frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{3 (x - 1)}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{3} + \ln (x - 1) (3 x^{2}) (x - 1)}{3 x + 3 \cdot - 1}$

ステップ 8.2

分子を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{x^{3} + 3 \ln (x - 1) x^{2} (x - 1)}{3 x + 3 \cdot - 1}$

ステップ 8.2.1.2

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (x - 1)$ を簡約します。

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} (x - 1)}{3 x + 3 \cdot - 1}$

ステップ 8.2.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} x + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

ステップ 8.2.1.4

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 8.2.1.4.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) (x \cdot x^{2}) + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

ステップ 8.2.1.4.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 8.2.1.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) (x^{1} x^{2}) + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

ステップ 8.2.1.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{1 + 2} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

ステップ 8.2.1.4.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2} \cdot - 1}{3 x + 3 \cdot - 1}$

ステップ 8.2.1.5

$- 1$ を $\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} - 1 \cdot (\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2})}{3 x + 3 \cdot - 1}$

ステップ 8.2.1.6

$- 1 (\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2})$ を $- (\ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2})$ に書き換えます。

$\frac{x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} - \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2}}{3 x + 3 \cdot - 1}$

ステップ 8.2.2

$x^{3} + \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{3} - \ln ({(x - 1)}^{3}) x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x^{3} + x^{3} \ln ({(x - 1)}^{3}) - x^{2} \ln ({(x - 1)}^{3})}{3 x + 3 \cdot - 1}$

ステップ 8.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{3} + x^{3} \ln ({(x - 1)}^{3}) - x^{2} \ln ({(x - 1)}^{3})}{3 x - 3}$

微分積分 例

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