微分積分例

$- \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}] + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ を ${({(1 - x)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{d}{d x} [{({(1 - x)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2

${({(1 - x)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{- 2}] + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = 1 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - x$ とします。

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [1 - x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [1 - x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $1 - x$ で置き換えます。

$- (- 2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [1 - x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$2 ({(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [1 - x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.2

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$2 {(1 - x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 {(1 - x)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 {(1 - x)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.6

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.8

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 4.9

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} + \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 4.10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.1

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ に $0$ をかけます。

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} + 0$

ステップ 4.10.2

$- 2 {(1 - x)}^{- 3}$ と $0$ をたし算します。

$- 2 {(1 - x)}^{- 3}$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 2 \frac{1}{{(1 - x)}^{3}}$

ステップ 5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{{(1 - x)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{{(1 - x)}^{3}}$

ステップ 5.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{{(1 - x)}^{3}}$

微分積分 例

微分積分例