微分積分例

$\frac{1}{1 + e^{- x}}$

ステップ 1

$\frac{1}{1 + e^{- x}}$ を ${(1 + e^{- x})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(1 + e^{- x})}^{- 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = 1 + e^{- x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $1 + e^{- x}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $1 + e^{- x}$ で置き換えます。

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $1 + e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

ステップ 3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ をたし算します。

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- x$ とします。

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.2

掛け算します。

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ステップ 5.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.2.2

${(1 + e^{- x})}^{- 2}$ に $1$ をかけます。

${(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

${(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x} \cdot 1$

ステップ 5.4

${(1 + e^{- x})}^{- 2}$ に $1$ をかけます。

${(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

${(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$ の因数を並べ替えます。

$e^{- x} {(1 + e^{- x})}^{- 2}$

ステップ 6.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

ステップ 6.3

$e^{- x}$ と $\frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{e^{- x}}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例