微分積分例

$\frac{1}{1 - e^{x}}$

ステップ 1

$\frac{1}{1 - e^{x}}$ を ${(1 - e^{x})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(1 - e^{x})}^{- 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = 1 - e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - e^{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $1 - e^{x}$ で置き換えます。

$- {(1 - e^{x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $1 - e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ です。

$- {(1 - e^{x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])$

ステップ 3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- {(1 - e^{x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ をたし算します。

$- {(1 - e^{x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

ステップ 3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$- {(1 - e^{x})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 3.5

掛け算します。

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ステップ 3.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 {(1 - e^{x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 3.5.2

${(1 - e^{x})}^{- 2}$ に $1$ をかけます。

${(1 - e^{x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

${(1 - e^{x})}^{- 2} e^{x}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{{(1 - e^{x})}^{2}} e^{x}$

ステップ 5.2

$\frac{1}{{(1 - e^{x})}^{2}}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

微分積分 例

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