微分積分例

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 6}$

ステップ 1

$\frac{1}{x^{2} + 5 x + 6}$ を ${(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 1}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2} + 5 x + 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 5 x + 6$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 6]$

ステップ 2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 6]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 5 x + 6$ で置き換えます。

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x + 6]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x^{2} + 5 x + 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6]$ です。

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

ステップ 3.3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])$

ステップ 3.5

$5$ に $1$ をかけます。

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 + \frac{d}{d x} [6])$

ステップ 3.6

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5 + 0)$

ステップ 3.7

$2 x + 5$ と $0$ をたし算します。

$- {(x^{2} + 5 x + 6)}^{- 2} (2 x + 5)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}} (2 x + 5)$

ステップ 4.2

$- \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}} (2 x + 5)$ の因数を並べ替えます。

$- (2 x + 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$(- (2 x) - 1 \cdot 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 4.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(- 2 x - 1 \cdot 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 4.5

$- 1$ に $5$ をかけます。

$(- 2 x - 5) \frac{1}{{(x^{2} + 5 x + 6)}^{2}}$

ステップ 4.6

分母を簡約します。

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ステップ 4.6.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 5 x + 6$ を因数分解します。

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ステップ 4.6.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $6$ で、その和が $5$ です。

$2, 3$

ステップ 4.6.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(- 2 x - 5) \frac{1}{{((x + 2) (x + 3))}^{2}}$

ステップ 4.6.2

積の法則を $(x + 2) (x + 3)$ に当てはめます。

$(- 2 x - 5) \frac{1}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.7

$- 2 x - 5$ に $\frac{1}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{- 2 x - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.8

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x) - 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.9

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$\frac{- (2 x) - 1 (5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.10

$- 1$ を $- (2 x) - 1 (5)$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.11

$- (2 x + 5)$ を $- 1 (2 x + 5)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (2 x + 5)}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

ステップ 4.12

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x + 5}{{(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}}$

微分積分 例

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