微分積分例

$\frac{3 x^{7} - x^{3}}{x}$

ステップ 1

項を簡約します。

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ステップ 1.1

$x^{3}$ を $3 x^{7} - x^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$x^{3}$ を $3 x^{7}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (3 x^{4}) - x^{3}}{x}]$

ステップ 1.1.2

$x^{3}$ を $- x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (3 x^{4}) + x^{3} \cdot - 1}{x}]$

ステップ 1.1.3

$x^{3}$ を $x^{3} (3 x^{4}) + x^{3} \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} (3 x^{4} - 1)}{x}]$

ステップ 1.2

$x^{3}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1

$x$ を $x^{3} (3 x^{4} - 1)$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} (3 x^{4} - 1))}{x}]$

ステップ 1.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} (3 x^{4} - 1))}{x^{1}}]$

ステップ 1.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} (3 x^{4} - 1))}{x \cdot 1}]$

ステップ 1.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} (3 x^{4} - 1))}{x \cdot 1}]$

ステップ 1.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (3 x^{4} - 1)}{1}]$

ステップ 1.2.2.5

$x^{2} (3 x^{4} - 1)$ を $1$ で割ります。

$\frac{d}{d x} [x^{2} (3 x^{4} - 1)]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 3 x^{4} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 1] + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $3 x^{4} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{4}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.4

$4$ に $3$ をかけます。

$x^{2} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} (12 x^{3} + 0) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.6

$12 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} (12 x^{3}) + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

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ステップ 4.1

$x^{3}$ を移動させます。

$x^{3} x^{2} \cdot 12 + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{3 + 2} \cdot 12 + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$x^{5} \cdot 12 + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 5

$12$ を $x^{5}$ の左に移動させます。

$12 \cdot x^{5} + (3 x^{4} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{5} + (3 x^{4} - 1) (2 x)$

ステップ 7

$2$ を $3 x^{4} - 1$ の左に移動させます。

$12 x^{5} + 2 \cdot (3 x^{4} - 1) x$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$12 x^{5} + (2 (3 x^{4}) + 2 \cdot - 1) x$

ステップ 8.2

分配則を当てはめます。

$12 x^{5} + 2 (3 x^{4}) x + 2 \cdot - 1 x$

ステップ 8.3

項をまとめます。

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ステップ 8.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$12 x^{5} + 6 x^{4} x + 2 \cdot - 1 x$

ステップ 8.3.2

$x$ を $1$ 乗します。

$12 x^{5} + 6 (x^{1} x^{4}) + 2 \cdot - 1 x$

ステップ 8.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$12 x^{5} + 6 x^{1 + 4} + 2 \cdot - 1 x$

ステップ 8.3.4

$1$ と $4$ をたし算します。

$12 x^{5} + 6 x^{5} + 2 \cdot - 1 x$

ステップ 8.3.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$12 x^{5} + 6 x^{5} - 2 x$

ステップ 8.3.6

$12 x^{5}$ と $6 x^{5}$ をたし算します。

$18 x^{5} - 2 x$

微分積分 例

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