微分積分例

$\frac{3 x^{3} + 5}{x}$

ステップ 1

$f (x) = 3 x^{3} + 5$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 5] - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $3 x^{3} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{3}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{x (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.4

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{x (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.5

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x (9 x^{2} + 0) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.6

$9 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x (9 x^{2}) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{9 (x^{1} x^{2}) - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{9 x^{1 + 2} - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{9 x^{3} - (3 x^{3} + 5) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{9 x^{3} - (3 x^{3} + 5) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{9 x^{3} - (3 x^{3} + 5)}{x^{2}}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{9 x^{3} - (3 x^{3}) - 1 \cdot 5}{x^{2}}$

ステップ 8.2

分子を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{9 x^{3} - 3 x^{3} - 1 \cdot 5}{x^{2}}$

ステップ 8.2.1.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{9 x^{3} - 3 x^{3} - 5}{x^{2}}$

ステップ 8.2.2

$9 x^{3}$ から $3 x^{3}$ を引きます。

$\frac{6 x^{3} - 5}{x^{2}}$

微分積分 例

微分積分例