微分積分例

$\frac{3 x^{2} - x}{{(2 x - 1)}^{5}}$

ステップ 1

$f (x) = 3 x^{2} - x$ および $g (x) = {(2 x - 1)}^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - x] - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{({(2 x - 1)}^{5})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

${({(2 x - 1)}^{5})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - x] - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{5 \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - x] - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $3 x^{2} - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

ステップ 2.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

ステップ 2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]) - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

ステップ 2.5

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x + \frac{d}{d x} [- x]) - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

ステップ 2.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x - \frac{d}{d x} [x]) - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

ステップ 2.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1 \cdot 1) - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

ステップ 2.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1) - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

ステップ 3

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = 2 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x - 1$ とします。

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1) - (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{{(2 x - 1)}^{10}}$

ステップ 3.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1) - (3 x^{2} - x) (5 u^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{{(2 x - 1)}^{10}}$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $2 x - 1$ で置き換えます。

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1) - (3 x^{2} - x) (5 {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{{(2 x - 1)}^{10}}$

ステップ 4

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) ({(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{{(2 x - 1)}^{10}}$

ステップ 4.2

${(2 x - 1)}^{4}$ を ${(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) ({(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

${(2 x - 1)}^{4}$ を ${(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1)$ で因数分解します。

$\frac{{(2 x - 1)}^{4} ((2 x - 1) (6 x - 1)) - 5 (3 x^{2} - x) ({(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{{(2 x - 1)}^{10}}$

ステップ 4.2.2

${(2 x - 1)}^{4}$ を $- 5 (3 x^{2} - x) ({(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$ で因数分解します。

$\frac{{(2 x - 1)}^{4} ((2 x - 1) (6 x - 1)) + {(2 x - 1)}^{4} (- 5 (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x - 1]))}{{(2 x - 1)}^{10}}$

ステップ 4.2.3

${(2 x - 1)}^{4}$ を ${(2 x - 1)}^{4} ((2 x - 1) (6 x - 1)) + {(2 x - 1)}^{4} (- 5 (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x - 1]))$ で因数分解します。

$\frac{{(2 x - 1)}^{4} ((2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x - 1]))}{{(2 x - 1)}^{10}}$

ステップ 5

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

${(2 x - 1)}^{4}$ を ${(2 x - 1)}^{10}$ で因数分解します。

$\frac{{(2 x - 1)}^{4} ((2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x - 1]))}{{(2 x - 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 5.2

共通因数を約分します。

$\frac{{(2 x - 1)}^{4} ((2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x - 1]))}{{(2 x - 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 5.3

式を書き換えます。

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x - 1])}{{(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 6

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 7

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 9

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 10

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 11.2

$2$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 10 (3 x^{2} - x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 12.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x - 1) (6 x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x (6 x - 1) - 1 (6 x - 1) - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 12.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x (6 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (6 x - 1) - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 12.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x (6 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 12.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 \cdot 6 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 12.2.1.2.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 \cdot 6 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 12.2.1.2.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 6 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 12.2.1.2.1.3

$2$ に $6$ をかけます。

$\frac{12 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 12.2.1.2.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{12 x^{2} - 2 x - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 12.2.1.2.1.5

$6$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{12 x^{2} - 2 x - 6 x - 1 \cdot - 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 12.2.1.2.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{12 x^{2} - 2 x - 6 x + 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 12.2.1.2.2

$- 2 x$ から $6 x$ を引きます。

$\frac{12 x^{2} - 8 x + 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 12.2.1.3

$3$ に $- 10$ をかけます。

$\frac{12 x^{2} - 8 x + 1 - 30 x^{2} - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 12.2.1.4

$- 1$ に $- 10$ をかけます。

$\frac{12 x^{2} - 8 x + 1 - 30 x^{2} + 10 x}{{(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 12.2.2

$12 x^{2}$ から $30 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 18 x^{2} - 8 x + 1 + 10 x}{{(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 12.2.3

$- 8 x$ と $10 x$ をたし算します。

$\frac{- 18 x^{2} + 2 x + 1}{{(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 12.3

$- 1$ を $- 18 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (18 x^{2}) + 2 x + 1}{{(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 12.4

$- 1$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{- (18 x^{2}) - (- 2 x) + 1}{{(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 12.5

$- 1$ を $- (18 x^{2}) - (- 2 x)$ で因数分解します。

$\frac{- (18 x^{2} - 2 x) + 1}{{(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 12.6

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- (18 x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 12.7

$- 1$ を $- (18 x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{- (18 x^{2} - 2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 12.8

$- (18 x^{2} - 2 x - 1)$ を $- 1 (18 x^{2} - 2 x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (18 x^{2} - 2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

ステップ 12.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{18 x^{2} - 2 x - 1}{{(2 x - 1)}^{6}}$

微分積分 例

微分積分例