微分積分例

$\frac{3 x^{2} + 2 e^{x}}{5 e^{x} - 4 x}$

ステップ 1

$f (x) = 3 x^{2} + 2 e^{x}$ および $g (x) = 5 e^{x} - 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 e^{x}] - (3 x^{2} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 4 x]}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $3 x^{2} + 2 e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ です。

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 4 x]}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 2.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 4 x]}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 4 x]}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 2.4

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 4 x]}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 2.5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 e^{x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 4 x]}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 4 x]}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、 $5 e^{x} - 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ です。

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) (\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 4.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 e^{x}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) (5 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 5

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) (5 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 4 x])}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 6

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) (5 e^{x} - 4 \frac{d}{d x} [x])}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 6.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) (5 e^{x} - 4 \cdot 1)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 6.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) - (3 x^{2} + 2 e^{x}) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(5 e^{x} - 4 x) (6 x + 2 e^{x})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{5 e^{x} (6 x + 2 e^{x}) - 4 x (6 x + 2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{5 e^{x} (6 x) + 5 e^{x} (2 e^{x}) - 4 x (6 x + 2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{5 e^{x} (6 x) + 5 e^{x} (2 e^{x}) - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{5 \cdot 6 e^{x} x + 5 e^{x} (2 e^{x}) - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2.1.2

$5$ に $6$ をかけます。

$\frac{30 e^{x} x + 5 e^{x} (2 e^{x}) - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{30 e^{x} x + 5 \cdot 2 e^{x} e^{x} - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2.1.4

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.2.1.4.1

$e^{x}$ を移動させます。

$\frac{30 e^{x} x + 5 \cdot 2 (e^{x} e^{x}) - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2.1.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{30 e^{x} x + 5 \cdot 2 e^{x + x} - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2.1.4.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{30 e^{x} x + 5 \cdot 2 e^{2 x} - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2.1.5

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{30 e^{x} x + 10 e^{2 x} - 4 x (6 x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2.1.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{30 e^{x} x + 10 e^{2 x} - 4 \cdot 6 x \cdot x - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2.1.7

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.2.1.7.1

$x$ を移動させます。

$\frac{30 e^{x} x + 10 e^{2 x} - 4 \cdot 6 (x \cdot x) - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2.1.7.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{30 e^{x} x + 10 e^{2 x} - 4 \cdot 6 x^{2} - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2.1.8

$- 4$ に $6$ をかけます。

$\frac{30 e^{x} x + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 4 x (2 e^{x}) + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2.1.9

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{30 e^{x} x + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 4 \cdot 2 x e^{x} + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2.1.10

$- 4$ に $2$ をかけます。

$\frac{30 e^{x} x + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 8 x e^{x} + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2.2

$30 e^{x} x$ から $8 x e^{x}$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.2.2.1

$e^{x}$ を移動させます。

$\frac{30 x e^{x} - 8 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2.2.2

$30 x e^{x}$ から $8 x e^{x}$ を引きます。

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} + (- (3 x^{2}) - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.3.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} + (- 3 x^{2} - (2 e^{x})) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} + (- 3 x^{2} - 2 e^{x}) (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.4

分配法則（FOIL法）を使って $(- 3 x^{2} - 2 e^{x}) (5 e^{x} - 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 3 x^{2} (5 e^{x} - 4) - 2 e^{x} (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 3 x^{2} (5 e^{x}) - 3 x^{2} \cdot - 4 - 2 e^{x} (5 e^{x} - 4)}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 3 x^{2} (5 e^{x}) - 3 x^{2} \cdot - 4 - 2 e^{x} (5 e^{x}) - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.5.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 3 \cdot 5 x^{2} e^{x} - 3 x^{2} \cdot - 4 - 2 e^{x} (5 e^{x}) - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.5.2

$- 3$ に $5$ をかけます。

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} - 3 x^{2} \cdot - 4 - 2 e^{x} (5 e^{x}) - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.5.3

$- 4$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 2 e^{x} (5 e^{x}) - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.5.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 2 \cdot 5 e^{x} e^{x} - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.5.5

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.5.5.1

$e^{x}$ を移動させます。

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 2 \cdot 5 (e^{x} e^{x}) - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.5.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 2 \cdot 5 e^{x + x} - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.5.5.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 2 \cdot 5 e^{2 x} - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.5.6

$- 2$ に $5$ をかけます。

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 10 e^{2 x} - 2 e^{x} \cdot - 4}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.5.7

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 10 e^{2 x} + 8 e^{x}}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.2

$22 x e^{x} + 10 e^{2 x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} - 10 e^{2 x} + 8 e^{x}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$10 e^{2 x}$ から $10 e^{2 x}$ を引きます。

$\frac{22 x e^{x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} + 0 + 8 e^{x}}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.2

$22 x e^{x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{22 x e^{x} - 24 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 12 x^{2} + 8 e^{x}}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.2.3

$- 24 x^{2}$ と $12 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{22 x e^{x} - 12 x^{2} - 15 x^{2} e^{x} + 8 e^{x}}{{(5 e^{x} - 4 x)}^{2}}$

ステップ 7.3

項を並べ替えます。

$\frac{- 12 x^{2} + 22 e^{x} x - 15 e^{x} x^{2} + 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

ステップ 7.4

$- 1$ を $- 12 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (12 x^{2}) + 22 e^{x} x - 15 e^{x} x^{2} + 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

ステップ 7.5

$- 1$ を $22 e^{x} x$ で因数分解します。

$\frac{- (12 x^{2}) - (- 22 e^{x} x) - 15 e^{x} x^{2} + 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

ステップ 7.6

$- 1$ を $- (12 x^{2}) - (- 22 e^{x} x)$ で因数分解します。

$\frac{- (12 x^{2} - 22 e^{x} x) - 15 e^{x} x^{2} + 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

ステップ 7.7

$- 1$ を $- 15 e^{x} x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (12 x^{2} - 22 e^{x} x) - (15 e^{x} x^{2}) + 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

ステップ 7.8

$- 1$ を $- (12 x^{2} - 22 e^{x} x) - (15 e^{x} x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{- (12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2}) + 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

ステップ 7.9

$- 1$ を $8 e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{- (12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2}) - (- 8 e^{x})}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

ステップ 7.10

$- 1$ を $- (12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2}) - (- 8 e^{x})$ で因数分解します。

$\frac{- (12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2} - 8 e^{x})}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

ステップ 7.11

$- (12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2} - 8 e^{x})$ を $- 1 (12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2} - 8 e^{x})$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2} - 8 e^{x})}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

ステップ 7.12

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2} - 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

ステップ 7.13

$- \frac{12 x^{2} - 22 e^{x} x + 15 e^{x} x^{2} - 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{12 x^{2} - 22 x e^{x} + 15 x^{2} e^{x} - 8 e^{x}}{{(- 4 x + 5 e^{x})}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例