微分積分例

$\frac{11 x^{2} + 10 x - 9}{x + 9}$

ステップ 1

$f (x) = 11 x^{2} + 10 x - 9$ および $g (x) = x + 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x + 9) \frac{d}{d x} [11 x^{2} + 10 x - 9] - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $11 x^{2} + 10 x - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$\frac{(x + 9) (\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 2.2

$11$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $11 x^{2}$ の微分係数は $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{(x + 9) (11 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + 9) (11 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 2.4

$2$ に $11$ をかけます。

$\frac{(x + 9) (22 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 2.5

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 x$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(x + 9) (22 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + 9) (22 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 2.7

$10$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x + 9) (22 x + 10 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 2.8

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x + 9) (22 x + 10 + 0) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 2.9

$22 x + 10$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 2.10

総和則では、 $x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 2.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9) (1 + \frac{d}{d x} [9])}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 2.12

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9) (1 + 0)}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 2.13

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9) \cdot 1}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 2.13.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2} + 10 x - 9)}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(x + 9) (22 x + 10) - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 9) (22 x + 10)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (22 x + 10) + 9 (22 x + 10) - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x (22 x) + x \cdot 10 + 9 (22 x + 10) - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x (22 x) + x \cdot 10 + 9 (22 x) + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{22 x \cdot x + x \cdot 10 + 9 (22 x) + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{22 (x \cdot x) + x \cdot 10 + 9 (22 x) + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{22 x^{2} + x \cdot 10 + 9 (22 x) + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.1.3

$10$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{22 x^{2} + 10 \cdot x + 9 (22 x) + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.1.4

$22$ に $9$ をかけます。

$\frac{22 x^{2} + 10 x + 198 x + 9 \cdot 10 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.1.5

$9$ に $10$ をかけます。

$\frac{22 x^{2} + 10 x + 198 x + 90 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.2

$10 x$ と $198 x$ をたし算します。

$\frac{22 x^{2} + 208 x + 90 - (11 x^{2}) - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3

$11$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{22 x^{2} + 208 x + 90 - 11 x^{2} - (10 x) - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.4

$10$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{22 x^{2} + 208 x + 90 - 11 x^{2} - 10 x - - 9}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.5

$- 1$ に $- 9$ をかけます。

$\frac{22 x^{2} + 208 x + 90 - 11 x^{2} - 10 x + 9}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$22 x^{2}$ から $11 x^{2}$ を引きます。

$\frac{11 x^{2} + 208 x + 90 - 10 x + 9}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$208 x$ から $10 x$ を引きます。

$\frac{11 x^{2} + 198 x + 90 + 9}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 3.2.4

$90$ と $9$ をたし算します。

$\frac{11 x^{2} + 198 x + 99}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 3.3

$11$ を $11 x^{2} + 198 x + 99$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$11$ を $11 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{11 (x^{2}) + 198 x + 99}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$11$ を $198 x$ で因数分解します。

$\frac{11 (x^{2}) + 11 (18 x) + 99}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$11$ を $99$ で因数分解します。

$\frac{11 x^{2} + 11 (18 x) + 11 \cdot 9}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 3.3.4

$11$ を $11 x^{2} + 11 (18 x)$ で因数分解します。

$\frac{11 (x^{2} + 18 x) + 11 \cdot 9}{{(x + 9)}^{2}}$

ステップ 3.3.5

$11$ を $11 (x^{2} + 18 x) + 11 \cdot 9$ で因数分解します。

$\frac{11 (x^{2} + 18 x + 9)}{{(x + 9)}^{2}}$

微分積分 例

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