微分積分例

$\frac{1 - \cos (x)}{x^{2}}$

ステップ 1

$f (x) = 1 - \cos (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $1 - \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ です。

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ をたし算します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [- \cos (x)] - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 2.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{x^{2} (- - \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} (1 \sin (x)) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} \sin (x) - (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} \sin (x) - (1 - \cos (x)) (2 x)}{x^{4}}$

ステップ 4.4

くくりだして簡約します。

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ステップ 4.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} \sin (x) - 2 (1 - \cos (x)) x}{x^{4}}$

ステップ 4.4.2

$x$ を $x^{2} \sin (x) - 2 (1 - \cos (x)) x$ で因数分解します。

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ステップ 4.4.2.1

$x$ を $x^{2} \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{x (x \sin (x)) - 2 (1 - \cos (x)) x}{x^{4}}$

ステップ 4.4.2.2

$x$ を $- 2 (1 - \cos (x)) x$ で因数分解します。

$\frac{x (x \sin (x)) + x (- 2 (1 - \cos (x)))}{x^{4}}$

ステップ 4.4.2.3

$x$ を $x (x \sin (x)) + x (- 2 (1 - \cos (x)))$ で因数分解します。

$\frac{x (x \sin (x) - 2 (1 - \cos (x)))}{x^{4}}$

ステップ 5

共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x (x \sin (x) - 2 (1 - \cos (x)))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 5.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (x \sin (x) - 2 (1 - \cos (x)))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 5.3

式を書き換えます。

$\frac{x \sin (x) - 2 (1 - \cos (x))}{x^{3}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x \sin (x) - 2 \cdot 1 - 2 (- \cos (x))}{x^{3}}$

ステップ 6.2

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{x \sin (x) - 2 - 2 (- \cos (x))}{x^{3}}$

ステップ 6.2.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{x \sin (x) - 2 + 2 \cos (x)}{x^{3}}$

微分積分 例

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