微分積分例

$\frac{2 x^{2} - 8}{x^{2} - 16}$

ステップ 1

$f (x) = 2 x^{2} - 8$ および $g (x) = x^{2} - 16$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8] - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $2 x^{2} - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$\frac{(x^{2} - 16) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{(x^{2} - 16) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 16) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8]) - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{(x^{2} - 16) (4 x + \frac{d}{d x} [- 8]) - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 2.5

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} - 16) (4 x + 0) - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$4 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} - 16) (4 x) - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 2.6.2

$4$ を $x^{2} - 16$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot (x^{2} - 16) x - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 2.7

総和則では、 $x^{2} - 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ です。

$\frac{4 (x^{2} - 16) x - (2 x^{2} - 8) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4 (x^{2} - 16) x - (2 x^{2} - 8) (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 2.9

$- 16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 16$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{4 (x^{2} - 16) x - (2 x^{2} - 8) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 2.10

式を簡約します。

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ステップ 2.10.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 (x^{2} - 16) x - (2 x^{2} - 8) (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 2.10.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 (x^{2} - 16) x - 2 (2 x^{2} - 8) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(4 x^{2} + 4 \cdot - 16) x - 2 (2 x^{2} - 8) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 16 x - 2 (2 x^{2} - 8) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 16 x + (- 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot - 8) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 3.4

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 16 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.5.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.5.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{4 (x \cdot x^{2}) + 4 \cdot - 16 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 3.5.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 16 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 16 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 16 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.2

$4$ に $- 16$ をかけます。

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.3.1

$x$ を移動させます。

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 2 (2 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 2 (2 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 2 (2 x^{1 + 2}) - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 2 (2 x^{3}) - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.4

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 4 x^{3} - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 3.5.1.5

$- 2$ に $- 8$ をかけます。

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 4 x^{3} + 16 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 3.5.2

$4 x^{3} - 64 x - 4 x^{3} + 16 x$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.5.2.1

$4 x^{3}$ から $4 x^{3}$ を引きます。

$\frac{- 64 x + 0 + 16 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 3.5.2.2

$- 64 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 64 x + 16 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 3.5.3

$- 64 x$ と $16 x$ をたし算します。

$\frac{- 48 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 3.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{48 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 3.7

分母を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{48 x}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

ステップ 3.7.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

$- \frac{48 x}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

ステップ 3.7.3

積の法則を $(x + 4) (x - 4)$ に当てはめます。

$- \frac{48 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

微分積分 例

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