微分積分例

$\frac{18}{{(9 x + 1)}^{2}}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{18}{{(9 x + 1)}^{2}}$ の微分係数は $18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(9 x + 1)}^{2}}]$ です。

$18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(9 x + 1)}^{2}}]$

ステップ 1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.2.1

$\frac{1}{{(9 x + 1)}^{2}}$ を ${({(9 x + 1)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$18 \frac{d}{d x} [{({(9 x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

ステップ 1.2.2

${({(9 x + 1)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$18 \frac{d}{d x} [{(9 x + 1)}^{2 \cdot - 1}]$

ステップ 1.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$18 \frac{d}{d x} [{(9 x + 1)}^{- 2}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = 9 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $9 x + 1$ とします。

$18 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [9 x + 1])$

ステップ 2.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$18 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [9 x + 1])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $9 x + 1$ で置き換えます。

$18 (- 2 {(9 x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [9 x + 1])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 2$ に $18$ をかけます。

$- 36 ({(9 x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [9 x + 1])$

ステップ 3.2

総和則では、 $9 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- 36 {(9 x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.3

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 36 {(9 x + 1)}^{- 3} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 36 {(9 x + 1)}^{- 3} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.5

$9$ に $1$ をかけます。

$- 36 {(9 x + 1)}^{- 3} (9 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 36 {(9 x + 1)}^{- 3} (9 + 0)$

ステップ 3.7

式を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$9$ と $0$ をたし算します。

$- 36 {(9 x + 1)}^{- 3} \cdot 9$

ステップ 3.7.2

$9$ に $- 36$ をかけます。

$- 324 {(9 x + 1)}^{- 3}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 324 \frac{1}{{(9 x + 1)}^{3}}$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$- 324$ と $\frac{1}{{(9 x + 1)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{- 324}{{(9 x + 1)}^{3}}$

ステップ 4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{324}{{(9 x + 1)}^{3}}$

微分積分 例

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