微分積分例

$f (x) = \ln (x e^{\sqrt{x}} + 5)$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\ln (x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5)]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5]$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5$ で置き換えます。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} \frac{d}{d x} [x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5]$

ステップ 3

総和則では、 $x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x e^{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{d}{d x} [x e^{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 4

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x^{\frac{1}{2}}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}] + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 5

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 5.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 6

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 10

分子を簡約します。

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ステップ 10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 11

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 12

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x (e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 13

$e^{x^{\frac{1}{2}}}$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (x \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 15

$x$ と $\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 16

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 17

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 17.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{- \frac{1}{2}} x e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 17.2

$x^{- \frac{1}{2}}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 17.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{1} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 17.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{- \frac{1}{2} + 1} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 17.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 17.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{\frac{- 1 + 2}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 17.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 18

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 19

$e^{x^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 20

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

ステップ 21

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5} (\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 22

簡約します。

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ステップ 22.1

$\frac{1}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5}$ に $\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5}$

ステップ 22.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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ステップ 22.2.1

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5}$

ステップ 22.2.2

まとめる。

$\frac{2 (\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + e^{x^{\frac{1}{2}}})}{2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5)}$

ステップ 22.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}}) + 2 \cdot 5}$

ステップ 22.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 22.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}}) + 2 \cdot 5}$

ステップ 22.4.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}} + 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}}) + 2 \cdot 5}$

ステップ 22.5

$e^{x^{\frac{1}{2}}}$ を $x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}} + 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}$ で因数分解します。

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ステップ 22.5.1

$e^{x^{\frac{1}{2}}}$ を $x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}$ で因数分解します。

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} + 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 5}$

ステップ 22.5.2

$e^{x^{\frac{1}{2}}}$ を $2 e^{x^{\frac{1}{2}}}$ で因数分解します。

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2 x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 5}$

ステップ 22.5.3

$e^{x^{\frac{1}{2}}}$ を $e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} + e^{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} + 2)}{2 x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 5}$

ステップ 22.6

$2$ を $2 x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 5$ で因数分解します。

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ステップ 22.6.1

$2$ を $2 x e^{x^{\frac{1}{2}}}$ で因数分解します。

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} + 2)}{2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}}) + 2 \cdot 5}$

ステップ 22.6.2

$2$ を $2 \cdot 5$ で因数分解します。

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} + 2)}{2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}}) + 2 (5)}$

ステップ 22.6.3

$2$ を $2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}}) + 2 (5)$ で因数分解します。

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} + 2)}{2 (x e^{x^{\frac{1}{2}}} + 5)}$

微分積分 例

微分積分例