微分積分例

$\frac{7 x^{2}}{4 e^{x} - x}$

ステップ 1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{7 x^{2}}{4 e^{x} - x}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 e^{x} - x}]$ です。

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{4 e^{x} - x}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 4 e^{x} - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$7 \frac{(4 e^{x} - x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [4 e^{x} - x]}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 \frac{(4 e^{x} - x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [4 e^{x} - x]}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

ステップ 3.2

$2$ を $4 e^{x} - x$ の左に移動させます。

$7 \frac{2 \cdot (4 e^{x} - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [4 e^{x} - x]}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

ステップ 3.3

総和則では、 $4 e^{x} - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

ステップ 3.4

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 e^{x}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

ステップ 4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} + \frac{d}{d x} [- x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - \frac{d}{d x} [x])}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

ステップ 5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1 \cdot 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

ステップ 5.3

分数をまとめます。

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ステップ 5.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$7 \frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

ステップ 5.3.2

$7$ と $\frac{2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{7 (2 (4 e^{x} - x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1))}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{7 ((2 (4 e^{x}) + 2 (- x)) x - x^{2} (4 e^{x} - 1))}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{7 (2 (4 e^{x}) x + 2 (- x) x - x^{2} (4 e^{x} - 1))}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{7 (2 (4 e^{x}) x + 2 (- x) x - x^{2} (4 e^{x}) - x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

$\frac{7 (2 (4 e^{x}) x) + 7 (2 (- x) x) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

ステップ 6.5

分子を簡約します。

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ステップ 6.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.5.1.1

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{7 (8 e^{x} x) + 7 (2 (- x) x) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

ステップ 6.5.1.2

$8$ に $7$ をかけます。

$\frac{56 (e^{x} x) + 7 (2 (- x) x) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

ステップ 6.5.1.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 6.5.1.3.1

$x$ を移動させます。

$\frac{56 e^{x} x + 7 (2 (- (x \cdot x))) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

ステップ 6.5.1.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{56 e^{x} x + 7 (2 (- x^{2})) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

ステップ 6.5.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{56 e^{x} x + 7 (- 2 x^{2}) + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

ステップ 6.5.1.5

$- 2$ に $7$ をかけます。

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} + 7 (- x^{2} (4 e^{x})) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

ステップ 6.5.1.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} + 7 (- 1 \cdot 4 x^{2} e^{x}) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

ステップ 6.5.1.7

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} + 7 (- 4 x^{2} e^{x}) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

ステップ 6.5.1.8

$- 4$ に $7$ をかけます。

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} - 28 (x^{2} e^{x}) + 7 (- x^{2} \cdot - 1)}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

ステップ 6.5.1.9

$- x^{2} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 6.5.1.9.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} - 28 x^{2} e^{x} + 7 (1 x^{2})}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

ステップ 6.5.1.9.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{56 e^{x} x - 14 x^{2} - 28 x^{2} e^{x} + 7 x^{2}}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

ステップ 6.5.2

$- 14 x^{2}$ と $7 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{56 e^{x} x - 7 x^{2} - 28 x^{2} e^{x}}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

ステップ 6.5.3

$56 e^{x} x - 7 x^{2} - 28 x^{2} e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{56 x e^{x} - 7 x^{2} - 28 x^{2} e^{x}}{{(4 e^{x} - x)}^{2}}$

ステップ 6.6

項を並べ替えます。

$\frac{- 7 x^{2} + 56 e^{x} x - 28 e^{x} x^{2}}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

ステップ 6.7

分子を簡約します。

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ステップ 6.7.1

$7 x$ を $- 7 x^{2} + 56 e^{x} x - 28 e^{x} x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 6.7.1.1

$7 x$ を $- 7 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{7 x (- x) + 56 e^{x} x - 28 e^{x} x^{2}}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

ステップ 6.7.1.2

$7 x$ を $56 e^{x} x$ で因数分解します。

$\frac{7 x (- x) + 7 x (8 e^{x}) - 28 e^{x} x^{2}}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

ステップ 6.7.1.3

$7 x$ を $- 28 e^{x} x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{7 x (- x) + 7 x (8 e^{x}) + 7 x (- 4 e^{x} x)}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

ステップ 6.7.1.4

$7 x$ を $7 x (- x) + 7 x (8 e^{x})$ で因数分解します。

$\frac{7 x (- x + 8 e^{x}) + 7 x (- 4 e^{x} x)}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

ステップ 6.7.1.5

$7 x$ を $7 x (- x + 8 e^{x}) + 7 x (- 4 e^{x} x)$ で因数分解します。

$\frac{7 x (- x + 8 e^{x} - 4 e^{x} x)}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

ステップ 6.7.2

項を並べ替えます。

$\frac{7 x (- 4 e^{x} x - x + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

ステップ 6.8

$- 1$ を $- 4 e^{x} x$ で因数分解します。

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x) - x + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

ステップ 6.9

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x) - (x) + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

ステップ 6.10

$- 1$ を $- (4 e^{x} x) - (x)$ で因数分解します。

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x + x) + 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

ステップ 6.11

$- 1$ を $8 e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x + x) - (- 8 e^{x}))}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

ステップ 6.12

$- 1$ を $- (4 e^{x} x + x) - (- 8 e^{x})$ で因数分解します。

$\frac{7 x (- (4 e^{x} x + x - 8 e^{x}))}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

ステップ 6.13

$- (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})$ を $- 1 (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})$ に書き換えます。

$\frac{7 x (- 1 (4 e^{x} x + x - 8 e^{x}))}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

ステップ 6.14

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{(7 x) (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

ステップ 6.15

$- \frac{(7 x) (4 e^{x} x + x - 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{7 x (4 x e^{x} + x - 8 e^{x})}{{(- x + 4 e^{x})}^{2}}$

微分積分 例

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