微分積分例

$\frac{(x + 4) (x + 1)}{4 x - 1}$

ステップ 1

$f (x) = (x + 4) (x + 1)$ および $g (x) = 4 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(4 x - 1) \frac{d}{d x} [(x + 4) (x + 1)] - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 2

$f (x) = x + 4$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{(4 x - 1) ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{(4 x - 1) ((x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(4 x - 1) ((x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(4 x - 1) ((x + 4) (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(4 x - 1) ((x + 4) \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.4.2

$x + 4$ に $1$ をかけます。

$\frac{(4 x - 1) (x + 4 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.5

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{(4 x - 1) (x + 4 + (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(4 x - 1) (x + 4 + (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [4])) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.7

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(4 x - 1) (x + 4 + (x + 1) (1 + 0)) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(4 x - 1) (x + 4 + (x + 1) \cdot 1) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.8.2

$x + 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(4 x - 1) (x + 4 + x + 1) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.8.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 4 + 1) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.8.4

$4$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.9

総和則では、 $4 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - (x + 4) (x + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.10

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - (x + 4) (x + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - (x + 4) (x + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.12

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - (x + 4) (x + 1) (4 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.13

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - (x + 4) (x + 1) (4 + 0)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.14

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.14.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - (x + 4) (x + 1) \cdot 4}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 3.14.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - 4 (x + 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(4 x - 1) (2 x + 5)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x (2 x + 5) - 1 (2 x + 5) + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 - 1 (2 x + 5) + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{4 \cdot 2 x \cdot x + 4 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.2.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{4 \cdot 2 (x \cdot x) + 4 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.2.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{4 \cdot 2 x^{2} + 4 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.2.1.3

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} + 4 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.2.1.4

$5$ に $4$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} + 20 x - 1 (2 x) - 1 \cdot 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.2.1.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} + 20 x - 2 x - 1 \cdot 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.2.1.6

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} + 20 x - 2 x - 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.2.2

$20 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.3

$- 4$ に $4$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 + (- 4 x - 16) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.4

分配法則（FOIL法）を使って $(- 4 x - 16) (x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 x (x + 1) - 16 (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 1 - 16 (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 1 - 16 x - 16 \cdot 1}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.5.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.5.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot 1 - 16 x - 16 \cdot 1}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.5.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 x^{2} - 4 x \cdot 1 - 16 x - 16 \cdot 1}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.5.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 x^{2} - 4 x - 16 x - 16 \cdot 1}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.5.1.3

$- 16$ に $1$ をかけます。

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 x^{2} - 4 x - 16 x - 16}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.5.2

$- 4 x$ から $16 x$ を引きます。

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 x^{2} - 20 x - 16}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

$8 x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$\frac{4 x^{2} + 18 x - 5 - 20 x - 16}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.3

$18 x$ から $20 x$ を引きます。

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 5 - 16}{{(4 x - 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.4

$- 5$ から $16$ を引きます。

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 21}{{(4 x - 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例