微分積分例

${\sec (2 x)}^{\cos (2 x)}$

ステップ 1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 1.1

${\sec (2 x)}^{\cos (2 x)}$ を $e^{\ln ({\sec (2 x)}^{\cos (2 x)})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sec (2 x)}^{\cos (2 x)})}]$

ステップ 1.2

$\cos (2 x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({\sec (2 x)}^{\cos (2 x)})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \cos (2 x) \ln (\sec (2 x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))$ で置き換えます。

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))]$

ステップ 3

$f (x) = \cos (2 x)$ および $g (x) = \ln (\sec (2 x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\ln (\sec (2 x))] + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

ステップ 4

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \sec (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\sec (2 x)$ とします。

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

ステップ 4.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos (2 x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\sec (2 x)$ で置き換えます。

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos (2 x) (\frac{1}{\sec (2 x)} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

ステップ 5

正弦と余弦に関して $\sec (2 x)$ を書き換えます。

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos (2 x) (\frac{1}{\frac{1}{\cos (2 x)}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

ステップ 6

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (2 x)}$ で割ります。

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos (2 x) (1 \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

ステップ 7

$\cos (2 x)$ に $1$ をかけます。

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)]) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

ステップ 8

$\cos (2 x)$ を $1$ 乗します。

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos^{1} (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

ステップ 9

$\cos (2 x)$ を $1$ 乗します。

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

ステップ 10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} ({\cos (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

ステップ 11

$1$ と $1$ をたし算します。

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

ステップ 12

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 12.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $2 x$ とします。

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

ステップ 12.2

$u_{3}$ に関する $\sec (u_{3})$ の微分係数は $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ です。

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos^{2} (2 x) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

ステップ 12.3

$u_{3}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

ステップ 13

微分します。

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ステップ 13.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

ステップ 13.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

ステップ 13.3

式を簡約します。

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ステップ 13.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

ステップ 13.3.2

$2$ を $\cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x)$ の左に移動させます。

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (2 \cdot (\cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x)) + \ln (\sec (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

ステップ 14

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 14.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{4}$ を $2 x$ とします。

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (2 \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \ln (\sec (2 x)) (\frac{d}{d u_{4}} [\cos (u_{4})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

ステップ 14.2

$u_{4}$ に関する $\cos (u_{4})$ の微分係数は $- \sin (u_{4})$ です。

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (2 \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \ln (\sec (2 x)) (- \sin (u_{4}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

ステップ 14.3

$u_{4}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (2 \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \ln (\sec (2 x)) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

ステップ 15

微分します。

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ステップ 15.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (2 \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \ln (\sec (2 x)) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])))$

ステップ 15.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (2 \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \ln (\sec (2 x)) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 15.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (2 \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \ln (\sec (2 x)) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1))$

ステップ 15.4

$- 2$ に $1$ をかけます。

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (2 \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + \ln (\sec (2 x)) (- 2 \sin (2 x)))$

ステップ 16

簡約します。

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ステップ 16.1

分配則を当てはめます。

$e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (2 \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x)) + e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} (\ln (\sec (2 x)) (- 2 \sin (2 x)))$

ステップ 16.2

$2$ を $e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))}$ の左に移動させます。

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) + e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \ln (\sec (2 x)) (- 2 \sin (2 x))$

ステップ 16.3

項を並べ替えます。

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

ステップ 16.4

各項を簡約します。

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ステップ 16.4.1

正弦と余弦に関して $\sec (2 x)$ を書き換えます。

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \cos^{2} (2 x) \sec (2 x) \tan (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

ステップ 16.4.2

正弦と余弦に関して $\sec (2 x)$ を書き換えます。

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \cos^{2} (2 x) \frac{1}{\cos (2 x)} \tan (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

ステップ 16.4.3

$\cos (2 x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 16.4.3.1

$\cos (2 x)$ を $2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \cos^{2} (2 x)$ で因数分解します。

$\cos (2 x) (2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \cos (2 x)) \frac{1}{\cos (2 x)} \tan (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

ステップ 16.4.3.2

共通因数を約分します。

$\cos (2 x) (2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \cos (2 x)) \frac{1}{\cos (2 x)} \tan (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

ステップ 16.4.3.3

式を書き換えます。

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \cos (2 x) \tan (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

ステップ 16.4.4

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

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ステップ 16.4.4.1

括弧を付けます。

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} (\cos (2 x) \tan (2 x)) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

ステップ 16.4.4.2

$\cos (2 x)$ と $\tan (2 x)$ を並べ替えます。

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} (\tan (2 x) \cos (2 x)) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

ステップ 16.4.4.3

正弦と余弦に関して $2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \cos (2 x) \tan (2 x)$ を書き換えます。

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} (\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cos (2 x)) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

ステップ 16.4.4.4

共通因数を約分します。

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \sin (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

ステップ 16.4.5

正弦と余弦に関して $\sec (2 x)$ を書き換えます。

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \sin (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

ステップ 16.4.6

正弦と余弦に関して $\sec (2 x)$ を書き換えます。

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \sin (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \sin (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})$

ステップ 16.5

各項を簡約します。

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ステップ 16.5.1

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ を $\sec (2 x)$ に変換します。

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})} \sin (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})$

ステップ 16.5.2

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ を $\sec (2 x)$ に変換します。

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\frac{1}{\cos (2 x)})$

ステップ 16.5.3

$\frac{1}{\cos (2 x)}$ を $\sec (2 x)$ に変換します。

$2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) - 2 e^{\cos (2 x) \ln (\sec (2 x))} \sin (2 x) \ln (\sec (2 x))$

微分積分 例

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