微分積分例

${(5 x + 11)}^{4}$

ステップ 1

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = 5 x + 11$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x + 11$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [5 x + 11]$

ステップ 1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [5 x + 11]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $5 x + 11$ で置き換えます。

$4 {(5 x + 11)}^{3} \frac{d}{d x} [5 x + 11]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $5 x + 11$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [11]$ です。

$4 {(5 x + 11)}^{3} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [11])$

ステップ 2.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 {(5 x + 11)}^{3} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11])$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 {(5 x + 11)}^{3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11])$

ステップ 2.4

$5$ に $1$ をかけます。

$4 {(5 x + 11)}^{3} (5 + \frac{d}{d x} [11])$

ステップ 2.5

$11$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $11$ の微分係数は $0$ です。

$4 {(5 x + 11)}^{3} (5 + 0)$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$5$ と $0$ をたし算します。

$4 {(5 x + 11)}^{3} \cdot 5$

ステップ 2.6.2

$5$ に $4$ をかけます。

$20 {(5 x + 11)}^{3}$

微分積分 例