微分積分例

${(5 - 8 x^{2})}^{7}$

ステップ 1

$f (x) = x^{7}$ および $g (x) = 5 - 8 x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 - 8 x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [5 - 8 x^{2}]$

ステップ 1.2

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [5 - 8 x^{2}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $5 - 8 x^{2}$ で置き換えます。

$7 {(5 - 8 x^{2})}^{6} \frac{d}{d x} [5 - 8 x^{2}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $5 - 8 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ です。

$7 {(5 - 8 x^{2})}^{6} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}])$

ステップ 2.2

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$7 {(5 - 8 x^{2})}^{6} (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}])$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ をたし算します。

$7 {(5 - 8 x^{2})}^{6} \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

ステップ 2.4

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x^{2}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$7 {(5 - 8 x^{2})}^{6} (- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.5

$- 8$ に $7$ をかけます。

$- 56 {(5 - 8 x^{2})}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 56 {(5 - 8 x^{2})}^{6} (2 x)$

ステップ 2.7

式を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$2$ に $- 56$ をかけます。

$- 112 {(5 - 8 x^{2})}^{6} x$

ステップ 2.7.2

$- 112 {(5 - 8 x^{2})}^{6} x$ の因数を並べ替えます。

$- 112 x {(5 - 8 x^{2})}^{6}$

微分積分 例