微分積分例

${(3 x^{4} + 8)}^{2}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 3 x^{4} + 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x^{4} + 8$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 8]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 8]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $3 x^{4} + 8$ で置き換えます。

$2 (3 x^{4} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 8]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $3 x^{4} + 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8]$ です。

$2 (3 x^{4} + 8) (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 2.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{4}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$2 (3 x^{4} + 8) (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 2.3

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 x^{4} + 8) (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 2.4

$4$ に $3$ をかけます。

$2 (3 x^{4} + 8) (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [8])$

ステップ 2.5

$8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $8$ の微分係数は $0$ です。

$2 (3 x^{4} + 8) (12 x^{3} + 0)$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$12 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$2 (3 x^{4} + 8) (12 x^{3})$

ステップ 2.6.2

$12$ に $2$ をかけます。

$24 (3 x^{4} + 8) x^{3}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$(24 (3 x^{4}) + 24 \cdot 8) x^{3}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$24 (3 x^{4}) x^{3} + 24 \cdot 8 x^{3}$

ステップ 3.3

項をまとめます。

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ステップ 3.3.1

$3$ に $24$ をかけます。

$72 x^{4} x^{3} + 24 \cdot 8 x^{3}$

ステップ 3.3.2

指数を足して $x^{4}$ に $x^{3}$ を掛けます。

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ステップ 3.3.2.1

$x^{3}$ を移動させます。

$72 (x^{3} x^{4}) + 24 \cdot 8 x^{3}$

ステップ 3.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$72 x^{3 + 4} + 24 \cdot 8 x^{3}$

ステップ 3.3.2.3

$3$ と $4$ をたし算します。

$72 x^{7} + 24 \cdot 8 x^{3}$

ステップ 3.3.3

$24$ に $8$ をかけます。

$72 x^{7} + 192 x^{3}$

微分積分 例

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