微分積分例

$(2 x - 3) x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 1

$f (x) = 2 x - 3$ および $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(2 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

ステップ 2

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(2 x - 3) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$(2 x - 3) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$(2 x - 3) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$(2 x - 3) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$(2 x - 3) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

ステップ 6.2

$3$ から $2$ を引きます。

$(2 x - 3) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

ステップ 7

$\frac{3}{2}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$(2 x - 3) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

ステップ 8

総和則では、 $2 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$(2 x - 3) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 9

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(2 x - 3) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(2 x - 3) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 11

$2$ に $1$ をかけます。

$(2 x - 3) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

ステップ 12

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$(2 x - 3) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 + 0)$

ステップ 13

式を簡約します。

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ステップ 13.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$(2 x - 3) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

ステップ 13.2

$2$ を $x^{\frac{3}{2}}$ の左に移動させます。

$(2 x - 3) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 \cdot x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

分配則を当てはめます。

$2 x \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 14.2

項をまとめます。

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ステップ 14.2.1

$2$ と $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$x \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} - 3 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 14.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$x \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 14.2.3

$x$ と $\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{x (6 x^{\frac{1}{2}})}{2} - 3 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 14.2.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{6 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}{2} - 3 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 14.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{6 x^{1 + \frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 14.2.6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{6 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 14.2.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{6 x^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} - 3 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 14.2.8

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{6 x^{\frac{3}{2}}}{2} - 3 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 14.2.9

$2$ を $6 x^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 x^{\frac{3}{2}})}{2} - 3 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 14.2.10

共通因数を約分します。

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ステップ 14.2.10.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (3 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} - 3 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 14.2.10.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (3 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} - 3 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 14.2.10.3

式を書き換えます。

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{1} - 3 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 14.2.10.4

$3 x^{\frac{3}{2}}$ を $1$ で割ります。

$3 x^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 14.2.11

$- 3$ と $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 14.2.12

$3$ に $- 3$ をかけます。

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 14.2.13

分数の前に負数を移動させます。

$3 x^{\frac{3}{2}} - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

ステップ 14.2.14

$3 x^{\frac{3}{2}}$ と $2 x^{\frac{3}{2}}$ をたし算します。

$5 x^{\frac{3}{2}} - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

微分積分 例

微分積分例