微分積分例

$\frac{{(x^{3} - 7)}^{4}}{2 x^{3}}$

ステップ 1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{{(x^{3} - 7)}^{4}}{2 x^{3}}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(x^{3} - 7)}^{4}}{x^{3}}]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(x^{3} - 7)}^{4}}{x^{3}}]$

ステップ 2

$f (x) = {(x^{3} - 7)}^{4}$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 7)}^{4}] - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

ステップ 3

${(x^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 7)}^{4}] - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

ステップ 3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 7)}^{4}] - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 4

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = x^{3} - 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3} - 7$ とします。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 7]) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 4.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 7]) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 4.3

$u$ のすべての発生を $x^{3} - 7$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 {(x^{3} - 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 7]) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

総和則では、 $x^{3} - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 {(x^{3} - 7)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7])) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 5.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7])) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 5.3

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{2} + 0)) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 5.4

式を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{2})) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 5.4.2

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (12 {(x^{3} - 7)}^{3} x^{2}) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 6

指数を足して $x^{3}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} x^{3} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2 + 3} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 6.3

$2$ と $3$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

ステップ 7

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - {(x^{3} - 7)}^{4} (3 x^{2})}{x^{6}}$

ステップ 8

分数をまとめます。

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ステップ 8.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - 3 {(x^{3} - 7)}^{4} x^{2}}{x^{6}}$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - 3 {(x^{3} - 7)}^{4} x^{2}}{x^{6}}$ をかけます。

$\frac{x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - 3 {(x^{3} - 7)}^{4} x^{2}}{2 x^{6}}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3}$ を $x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - 3 {(x^{3} - 7)}^{4} x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 9.1.1.1

$x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3}$ を $x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3})$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (x^{3} \cdot (4)) - 3 {(x^{3} - 7)}^{4} x^{2}}{2 x^{6}}$

ステップ 9.1.1.2

$x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3}$ を $- 3 {(x^{3} - 7)}^{4} x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (x^{3} \cdot (4)) + x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (- (x^{3} - 7))}{2 x^{6}}$

ステップ 9.1.1.3

$x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3}$ を $x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (x^{3} \cdot (4)) + x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (- (x^{3} - 7))$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (x^{3} \cdot (4) - (x^{3} - 7))}{2 x^{6}}$

ステップ 9.1.2

$4$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (4 \cdot x^{3} - (x^{3} - 7))}{2 x^{6}}$

ステップ 9.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (4 x^{3} - x^{3} - - 7)}{2 x^{6}}$

ステップ 9.1.4

$- 1$ に $- 7$ をかけます。

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (4 x^{3} - x^{3} + 7)}{2 x^{6}}$

ステップ 9.1.5

$4 x^{3}$ から $x^{3}$ を引きます。

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7)}{2 x^{6}}$

ステップ 9.2

項をまとめます。

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ステップ 9.2.1

$3$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot x^{2} {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7)}{2 x^{6}}$

ステップ 9.2.2

$x^{2}$ と $x^{6}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.2.1

$x^{2}$ を $3 x^{2} {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7)$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (3 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7))}{2 x^{6}}$

ステップ 9.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.2.2.1

$x^{2}$ を $2 x^{6}$ で因数分解します。

$\frac{x^{2} (3 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7))}{x^{2} (2 x^{4})}$

ステップ 9.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} (3 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7))}{x^{2} (2 x^{4})}$

ステップ 9.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7)}{2 x^{4}}$

微分積分 例

微分積分例