微分積分例

$\frac{x + 3}{{(x - 3)}^{5}}$

ステップ 1

$f (x) = x + 3$ および $g (x) = {(x - 3)}^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{({(x - 3)}^{5})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

${({(x - 3)}^{5})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{5 \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{{(x - 3)}^{5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x - 3)}^{5} (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

ステップ 2.4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(x - 3)}^{5} (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

ステップ 2.5

式を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(x - 3)}^{5} \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

ステップ 2.5.2

${(x - 3)}^{5}$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(x - 3)}^{5} - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

ステップ 3

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 3$ とします。

$\frac{{(x - 3)}^{5} - (x + 3) (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

ステップ 3.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x - 3)}^{5} - (x + 3) (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $x - 3$ で置き換えます。

$\frac{{(x - 3)}^{5} - (x + 3) (5 {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

ステップ 4

くくりだして簡約します。

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ステップ 4.1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{{(x - 3)}^{5} - 5 (x + 3) ({(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

ステップ 4.2

${(x - 3)}^{4}$ を ${(x - 3)}^{5} - 5 (x + 3) ({(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])$ で因数分解します。

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ステップ 4.2.1

${(x - 3)}^{4}$ を ${(x - 3)}^{5}$ で因数分解します。

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3) - 5 (x + 3) ({(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

ステップ 4.2.2

${(x - 3)}^{4}$ を $- 5 (x + 3) ({(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])$ で因数分解します。

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3) + {(x - 3)}^{4} (- 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))}{{(x - 3)}^{10}}$

ステップ 4.2.3

${(x - 3)}^{4}$ を ${(x - 3)}^{4} (x - 3) + {(x - 3)}^{4} (- 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))$ で因数分解します。

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))}{{(x - 3)}^{10}}$

ステップ 5

共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

${(x - 3)}^{4}$ を ${(x - 3)}^{10}$ で因数分解します。

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))}{{(x - 3)}^{4} {(x - 3)}^{6}}$

ステップ 5.2

共通因数を約分します。

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))}{{(x - 3)}^{4} {(x - 3)}^{6}}$

ステップ 5.3

式を書き換えます。

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 6

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 8

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 9

式を簡約します。

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ステップ 9.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) \cdot 1}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 9.2

$- 5$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3)}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x - 3 - 5 x - 5 \cdot 3}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 10.2

分子を簡約します。

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ステップ 10.2.1

$- 5$ に $3$ をかけます。

$\frac{x - 3 - 5 x - 15}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 10.2.2

$x$ から $5 x$ を引きます。

$\frac{- 4 x - 3 - 15}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 10.2.3

$- 3$ から $15$ を引きます。

$\frac{- 4 x - 18}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 10.3

$2$ を $- 4 x - 18$ で因数分解します。

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ステップ 10.3.1

$2$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x) - 18}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 10.3.2

$2$ を $- 18$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x) + 2 (- 9)}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 10.3.3

$2$ を $2 (- 2 x) + 2 (- 9)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x - 9)}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 10.4

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (2 x) - 9)}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 10.5

$- 9$ を $- 1 (9)$ に書き換えます。

$\frac{2 (- (2 x) - 1 (9))}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 10.6

$- 1$ を $- (2 x) - 1 (9)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (2 x + 9))}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 10.7

$- (2 x + 9)$ を $- 1 (2 x + 9)$ に書き換えます。

$\frac{2 (- 1 (2 x + 9))}{{(x - 3)}^{6}}$

ステップ 10.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 (2 x + 9)}{{(x - 3)}^{6}}$

微分積分 例

微分積分例