微分積分例

$\frac{{(x + h)}^{5} - x^{5}}{h}$

ステップ 1

微分します。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{h}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{{(x + h)}^{5} - x^{5}}{h}$ の微分係数は $\frac{1}{h} \frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5} - x^{5}]$ です。

$\frac{1}{h} \frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5} - x^{5}]$

ステップ 1.2

総和則では、 ${(x + h)}^{5} - x^{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ です。

$\frac{1}{h} (\frac{d}{d x} [{(x + h)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

ステップ 2

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = x + h$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + h$ とします。

$\frac{1}{h} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

ステップ 2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{h} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x + h$ で置き換えます。

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} \frac{d}{d x} [x + h] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x + h$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [h]$ です。

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [h]) + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [h]) + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

ステップ 3.3

$h$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $h$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

ステップ 3.4

式を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

ステップ 3.4.2

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{5}])$

ステップ 3.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{5}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} - \frac{d}{d x} [x^{5}])$

ステップ 3.6

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} - (5 x^{4}))$

ステップ 3.7

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4} - 5 x^{4})$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{h} (5 {(x + h)}^{4}) + \frac{1}{h} (- 5 x^{4})$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$5$ と $\frac{1}{h}$ をまとめます。

$\frac{5}{h} {(x + h)}^{4} + \frac{1}{h} (- 5 x^{4})$

ステップ 4.2.2

$\frac{5}{h}$ と ${(x + h)}^{4}$ をまとめます。

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} + \frac{1}{h} (- 5 x^{4})$

ステップ 4.2.3

$- 5$ と $\frac{1}{h}$ をまとめます。

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} + \frac{- 5}{h} x^{4}$

ステップ 4.2.4

$\frac{- 5}{h}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} + \frac{- 5 x^{4}}{h}$

ステップ 4.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{5 {(x + h)}^{4}}{h} - \frac{5 x^{4}}{h}$

ステップ 4.2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5 {(x + h)}^{4} - 5 x^{4}}{h}$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$\frac{- 5 x^{4} + 5 {(x + h)}^{4}}{h}$

微分積分 例

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