微分積分例

$y = \ln ({(x^{2} + 1)}^{3})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(x^{2} + 1)}^{3}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(x^{2} + 1)}^{3}$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{3}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{2} + 1$ とします。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}} (3 {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$3$ と $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{3}{{(x^{2} + 1)}^{3}} ({(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

ステップ 3.2

項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

${(x^{2} + 1)}^{2}$ と $\frac{3}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 3.2.2

$3$ を ${(x^{2} + 1)}^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 3.2.3

${(x^{2} + 1)}^{2}$ と ${(x^{2} + 1)}^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.1

${(x^{2} + 1)}^{2}$ を $3 {(x^{2} + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 3.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.2.1

${(x^{2} + 1)}^{2}$ を ${(x^{2} + 1)}^{3}$ で因数分解します。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{2} (x^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} + 1)}^{2} (x^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 3.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 3.3

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{3}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3}{x^{2} + 1} (2 x + 0)$

ステップ 3.6

分数をまとめます。

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ステップ 3.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3}{x^{2} + 1} (2 x)$

ステップ 3.6.2

$2$ と $\frac{3}{x^{2} + 1}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 3}{x^{2} + 1} x$

ステップ 3.6.3

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6}{x^{2} + 1} x$

ステップ 3.6.4

$\frac{6}{x^{2} + 1}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{6 x}{x^{2} + 1}$

微分積分 例

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