微分積分例

$\frac{e^{x}}{5 x^{2}}$

ステップ 1

$\frac{1}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{e^{x}}{5 x^{2}}$ の微分係数は $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{2}}]$ です。

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 3

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x^{2} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 5

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 5.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x^{2} e^{x} - e^{x} (2 x)}{x^{4}}$

ステップ 5.2

分数をまとめます。

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ステップ 5.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x}{x^{4}}$

ステップ 5.2.2

$\frac{1}{5}$ に $\frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x}{x^{4}}$ をかけます。

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x}{5 x^{4}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x}}{5 x^{4}}$

ステップ 6.2

項を並べ替えます。

$\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x}{5 x^{4}}$

ステップ 6.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$x$ を $e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x$ で因数分解します。

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ステップ 6.3.1.1

$x$ を $e^{x} x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{x (e^{x} x) - 2 e^{x} x}{5 x^{4}}$

ステップ 6.3.1.2

$x$ を $- 2 e^{x} x$ で因数分解します。

$\frac{x (e^{x} x) + x (- 2 e^{x})}{5 x^{4}}$

ステップ 6.3.1.3

$x$ を $x (e^{x} x) + x (- 2 e^{x})$ で因数分解します。

$\frac{x (e^{x} x - 2 e^{x})}{5 x^{4}}$

ステップ 6.3.2

$e^{x}$ を $e^{x} x - 2 e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 6.3.2.1

$e^{x}$ を $e^{x} x$ で因数分解します。

$\frac{x (e^{x} (x) - 2 e^{x})}{5 x^{4}}$

ステップ 6.3.2.2

$e^{x}$ を $- 2 e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{x (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2)}{5 x^{4}}$

ステップ 6.3.2.3

$e^{x}$ を $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2$ で因数分解します。

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{5 x^{4}}$

$\frac{x e^{x} (x - 2)}{5 x^{4}}$

ステップ 6.4

$x$ と $x^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.1

$x$ を $x e^{x} (x - 2)$ で因数分解します。

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{5 x^{4}}$

ステップ 6.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.2.1

$x$ を $5 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{x (5 x^{3})}$

ステップ 6.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (e^{x} (x - 2))}{x (5 x^{3})}$

ステップ 6.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{e^{x} (x - 2)}{5 x^{3}}$

微分積分 例

微分積分例