微分積分例

$\frac{e^{x}}{7 x^{2} + 7}$

ステップ 1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 7 x^{2} + 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(7 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 7]}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 7]}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $7 x^{2} + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.2

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x^{2}$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [7])}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.4

$2$ に $7$ をかけます。

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (14 x + \frac{d}{d x} [7])}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.5

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (14 x + 0)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$14 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (14 x)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 3.6.2

$14$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - 14 e^{x} x}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{7 x^{2} e^{x} + 7 e^{x} - 14 e^{x} x}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 4.2

$7 x^{2} e^{x} + 7 e^{x} - 14 e^{x} x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{7 x^{2} e^{x} + 7 e^{x} - 14 x e^{x}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$\frac{7 e^{x} x^{2} - 14 e^{x} x + 7 e^{x}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 4.4

分子を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$7 e^{x}$ を $7 e^{x} x^{2} - 14 e^{x} x + 7 e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 4.4.1.1

$7 e^{x}$ を $7 e^{x} x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{7 e^{x} (x^{2}) - 14 e^{x} x + 7 e^{x}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.2

$7 e^{x}$ を $- 14 e^{x} x$ で因数分解します。

$\frac{7 e^{x} (x^{2}) + 7 e^{x} (- 2 x) + 7 e^{x}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.3

$7 e^{x}$ を $7 e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{7 e^{x} (x^{2}) + 7 e^{x} (- 2 x) + 7 e^{x} (1)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.4

$7 e^{x}$ を $7 e^{x} (x^{2}) + 7 e^{x} (- 2 x)$ で因数分解します。

$\frac{7 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 7 e^{x} (1)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 4.4.1.5

$7 e^{x}$ を $7 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 7 e^{x} (1)$ で因数分解します。

$\frac{7 e^{x} (x^{2} - 2 x + 1)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 4.4.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 4.4.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{7 e^{x} (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 4.4.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 4.4.2.3

多項式を書き換えます。

$\frac{7 e^{x} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 4.4.2.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

ステップ 4.5

分母を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$7$ を $7 x^{2} + 7$ で因数分解します。

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ステップ 4.5.1.1

$7$ を $7 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(7 (x^{2}) + 7)}^{2}}$

ステップ 4.5.1.2

$7$ を $7$ で因数分解します。

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(7 (x^{2}) + 7 (1))}^{2}}$

ステップ 4.5.1.3

$7$ を $7 (x^{2}) + 7 (1)$ で因数分解します。

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(7 (x^{2} + 1))}^{2}}$

ステップ 4.5.2

積の法則を $7 (x^{2} + 1)$ に当てはめます。

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{7^{2} {(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.5.3

$7$ を $2$ 乗します。

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{49 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.6

$7$ と $49$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.6.1

$7$ を $7 e^{x} {(x - 1)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{7 (e^{x} {(x - 1)}^{2})}{49 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.6.2.1

$7$ を $49 {(x^{2} + 1)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{7 (e^{x} {(x - 1)}^{2})}{7 (7 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

ステップ 4.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{7 (e^{x} {(x - 1)}^{2})}{7 (7 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

ステップ 4.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{e^{x} {(x - 1)}^{2}}{7 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

微分積分 例

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