微分積分例

$\frac{e^{x}}{1 - e^{x}}$

ステップ 1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 1 - e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 - e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

ステップ 2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $1 - e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ です。

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

ステップ 3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ をたし算します。

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

ステップ 3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} - e^{x} (- \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

ステップ 3.5

掛け算します。

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ステップ 3.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + 1 e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

ステップ 3.5.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

ステップ 4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + e^{x} e^{x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

ステップ 5

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 5.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + e^{x + x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

ステップ 5.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{(1 - e^{x}) e^{x} + e^{2 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 e^{x} - e^{x} e^{x} + e^{2 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

ステップ 6.2

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{x} - e^{x} e^{x} + e^{2 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

ステップ 6.2.1.2

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 6.2.1.2.1

$e^{x}$ を移動させます。

$\frac{e^{x} - (e^{x} e^{x}) + e^{2 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

ステップ 6.2.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{e^{x} - e^{x + x} + e^{2 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

ステップ 6.2.1.2.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{e^{x} - e^{2 x} + e^{2 x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

ステップ 6.2.2

$e^{x} - e^{2 x} + e^{2 x}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.2.2.1

$- e^{2 x}$ と $e^{2 x}$ をたし算します。

$\frac{e^{x} + 0}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

$e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{e^{x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$

微分積分 例

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