微分積分例

$\frac{x^{2} + 2 x - 35}{x^{2} - 25}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} + 2 x - 35$ および $g (x) = x^{2} - 25$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 35] - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} + 2 x - 35$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 35]$ です。

$\frac{(x^{2} - 25) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 35]) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 35]) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 2.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 35]) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 35]) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 2.5

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 35]) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 2.6

$- 35$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 35$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2 + 0) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 2.7

$2 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 35) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 2.8

総和則では、 $x^{2} - 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ です。

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 35) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25])}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 2.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 35) (2 x + \frac{d}{d x} [- 25])}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 2.10

$- 25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 25$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 35) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 2.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x - 35) (2 x)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 2.11.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - 2 (x^{2} + 2 x - 35) x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) + (- 2 x^{2} - 2 (2 x) - 2 \cdot - 35) x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(x^{2} - 25) (2 x + 2) - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} - 25) (2 x + 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} (2 x + 2) - 25 (2 x + 2) - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x + 2) - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.2.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.2.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.2.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.2.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.2.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.2.3

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} - 25 (2 x) - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.2.4

$2$ に $- 25$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 25 \cdot 2 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.2.5

$- 25$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{2} x - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{1 + 2} - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 2 (2 x) x - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.4.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 2 (2 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.5

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 4 x^{2} - 2 \cdot - 35 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.6

$- 2$ に $- 35$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 70 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$2 x^{3} + 2 x^{2} - 50 x - 50 - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 70 x$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 3.3.2.1

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$\frac{2 x^{2} - 50 x - 50 + 0 - 4 x^{2} + 70 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.3.2.2

$2 x^{2} - 50 x - 50$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} - 50 x - 50 - 4 x^{2} + 70 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$2 x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 2 x^{2} - 50 x - 50 + 70 x}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.3.4

$- 50 x$ と $70 x$ をたし算します。

$\frac{- 2 x^{2} + 20 x - 50}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$2$ を $- 2 x^{2} + 20 x - 50$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

$2$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x^{2}) + 20 x - 50}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.2

$2$ を $20 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (10 x) - 50}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.3

$2$ を $- 50$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (10 x) + 2 (- 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.4

$2$ を $2 (- x^{2}) + 2 (10 x)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x^{2} + 10 x) + 2 (- 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.4.1.5

$2$ を $2 (- x^{2} + 10 x) + 2 (- 25)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x^{2} + 10 x - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.4.2

群による因数分解。

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ステップ 3.4.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot - 25 = 25$ で和が $b = 10$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.4.2.1.1

$10$ を $10 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x^{2} + 10 (x) - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.4.2.1.2

$10$ を $5$ プラス $5$ に書き換える

$\frac{2 (- x^{2} + (5 + 5) x - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.4.2.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (- x^{2} + 5 x + 5 x - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{2 ((- x^{2} + 5 x) + 5 x - 25)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.4.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{2 (x (- x + 5) - 5 (- x + 5))}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.4.2.3

最大公約数 $- x + 5$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{2 ((- x + 5) (x - 5))}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

$\frac{2 (- x + 5) (x - 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.4.3

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (x) + 5) (x - 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.4.3.2

$5$ を $- 1 (- 5)$ に書き換えます。

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 5)) (x - 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.4.3.3

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 5)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (x - 5)) (x - 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.4.3.4

$- (x - 5)$ を $- 1 (x - 5)$ に書き換えます。

$\frac{2 (- 1 (x - 5)) (x - 5)}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.4.3.5

$x - 5$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \cdot - 1 ({(x - 5)}^{1} (x - 5))}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.4.3.6

$x - 5$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \cdot - 1 ({(x - 5)}^{1} {(x - 5)}^{1})}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.4.3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 \cdot - 1 {(x - 5)}^{1 + 1}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.4.3.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \cdot - 1 {(x - 5)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.4.3.9

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2 {(x - 5)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

ステップ 3.5

分母を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{- 2 {(x - 5)}^{2}}{{(x^{2} - 5^{2})}^{2}}$

ステップ 3.5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 5$ です。

$\frac{- 2 {(x - 5)}^{2}}{{((x + 5) (x - 5))}^{2}}$

ステップ 3.5.3

積の法則を $(x + 5) (x - 5)$ に当てはめます。

$\frac{- 2 {(x - 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

ステップ 3.6

${(x - 5)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 {(x - 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(x - 5)}^{2}}$

ステップ 3.6.2

式を書き換えます。

$\frac{- 2}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 3.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{{(x + 5)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例