微分積分例

$\frac{x^{2} + 10 x + 25}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} + 10 x + 25$ および $g (x) = {(x + 5)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x + 25] - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{({(x + 5)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

${({(x + 5)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x + 25] - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(x + 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x + 25] - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $x^{2} + 10 x + 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ です。

$\frac{{(x + 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

ステップ 2.4

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 x$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

ステップ 2.6

$10$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10 + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

ステップ 2.7

$25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10 + 0) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

ステップ 2.8

$2 x + 10$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10) - (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{2}]}{{(x + 5)}^{4}}$

ステップ 3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 5$ とします。

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10) - (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 5])}{{(x + 5)}^{4}}$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10) - (x^{2} + 10 x + 25) (2 u \frac{d}{d x} [x + 5])}{{(x + 5)}^{4}}$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $x + 5$ で置き換えます。

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10) - (x^{2} + 10 x + 25) (2 (x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5])}{{(x + 5)}^{4}}$

ステップ 4

くくりだして簡約します。

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ステップ 4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{{(x + 5)}^{2} (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) ((x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5])}{{(x + 5)}^{4}}$

ステップ 4.2

$x + 5$ を ${(x + 5)}^{2} (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) ((x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5])$ で因数分解します。

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ステップ 4.2.1

$x + 5$ を ${(x + 5)}^{2} (2 x + 10)$ で因数分解します。

$\frac{(x + 5) ((x + 5) (2 x + 10)) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) ((x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5])}{{(x + 5)}^{4}}$

ステップ 4.2.2

$x + 5$ を $- 2 (x^{2} + 10 x + 25) ((x + 5) \frac{d}{d x} [x + 5])$ で因数分解します。

$\frac{(x + 5) ((x + 5) (2 x + 10)) + (x + 5) (- 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x + 5]))}{{(x + 5)}^{4}}$

ステップ 4.2.3

$x + 5$ を $(x + 5) ((x + 5) (2 x + 10)) + (x + 5) (- 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x + 5]))$ で因数分解します。

$\frac{(x + 5) ((x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x + 5]))}{{(x + 5)}^{4}}$

ステップ 5

共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

$x + 5$ を ${(x + 5)}^{4}$ で因数分解します。

$\frac{(x + 5) ((x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x + 5]))}{(x + 5) {(x + 5)}^{3}}$

ステップ 5.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 5) ((x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x + 5]))}{(x + 5) {(x + 5)}^{3}}$

ステップ 5.3

式を書き換えます。

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x + 5])}{{(x + 5)}^{3}}$

ステップ 6

総和則では、 $x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{3}}$

ステップ 7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{3}}$

ステップ 8

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) (1 + 0)}{{(x + 5)}^{3}}$

ステップ 9

式を簡約します。

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ステップ 9.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25) \cdot 1}{{(x + 5)}^{3}}$

ステップ 9.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 (x^{2} + 10 x + 25)}{{(x + 5)}^{3}}$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(x + 5) (2 x + 10) - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

ステップ 10.2

分子を簡約します。

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ステップ 10.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 5) (2 x + 10)$ を展開します。

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ステップ 10.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (2 x + 10) + 5 (2 x + 10) - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

ステップ 10.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x (2 x) + x \cdot 10 + 5 (2 x + 10) - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

ステップ 10.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x (2 x) + x \cdot 10 + 5 (2 x) + 5 \cdot 10 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

ステップ 10.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 10.2.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.2.1.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 10 + 5 (2 x) + 5 \cdot 10 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

ステップ 10.2.1.2.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 10.2.1.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 10 + 5 (2 x) + 5 \cdot 10 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

ステップ 10.2.1.2.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 10 + 5 (2 x) + 5 \cdot 10 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

ステップ 10.2.1.2.1.3

$10$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{2 x^{2} + 10 \cdot x + 5 (2 x) + 5 \cdot 10 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

ステップ 10.2.1.2.1.4

$2$ に $5$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 10 x + 10 x + 5 \cdot 10 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

ステップ 10.2.1.2.1.5

$5$ に $10$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 10 x + 10 x + 50 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

ステップ 10.2.1.2.2

$10 x$ と $10 x$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} + 20 x + 50 - 2 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

ステップ 10.2.1.3

$10$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 20 x + 50 - 2 x^{2} - 20 x - 2 \cdot 25}{{(x + 5)}^{3}}$

ステップ 10.2.1.4

$- 2$ に $25$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + 20 x + 50 - 2 x^{2} - 20 x - 50}{{(x + 5)}^{3}}$

ステップ 10.2.2

$2 x^{2} + 20 x + 50 - 2 x^{2} - 20 x - 50$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 10.2.2.1

$2 x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{20 x + 50 + 0 - 20 x - 50}{{(x + 5)}^{3}}$

ステップ 10.2.2.2

$20 x + 50$ と $0$ をたし算します。

$\frac{20 x + 50 - 20 x - 50}{{(x + 5)}^{3}}$

ステップ 10.2.2.3

$20 x$ から $20 x$ を引きます。

$\frac{0 + 50 - 50}{{(x + 5)}^{3}}$

ステップ 10.2.2.4

$0$ と $50$ をたし算します。

$\frac{50 - 50}{{(x + 5)}^{3}}$

ステップ 10.2.2.5

$50$ から $50$ を引きます。

$\frac{0}{{(x + 5)}^{3}}$

ステップ 10.3

$0$ を ${(x + 5)}^{3}$ で割ります。

$0$

微分積分 例

微分積分例