微分積分例

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2 - 1}}$

ステップ 1

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{1}}]$

ステップ 2

簡約します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x}]$

ステップ 3

$f (x) = x^{2} + 1$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4.4

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 6

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 10

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1)}{x^{2}}$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 11.2

分子を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2}}$

ステップ 11.2.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$

ステップ 11.3

分子を簡約します。

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ステップ 11.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2}}$

ステップ 11.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$

微分積分 例

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