微分積分例

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 2 x + 1}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} + 2 x + 1$ および $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1] - (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} + 2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.5

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 2 + 0) - (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.7

$2 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.8

総和則では、 $x^{2} - 2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.10

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x + 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.12

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x + 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x + 1) (2 x - 2 + 0)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.14

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x + 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 2) + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x^{2} - 2 x + 1) (2 x + 2)$ を展開します。

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.3

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.6

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} - 2 x \cdot 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.7

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} - 4 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.8

$2 x$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} - 4 x + 2 x + 1 \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.2.9

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} - 4 x + 2 x + 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.3

$2 x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 2 x + 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.4

$- 4 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 + (- x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 + (- x^{2} - 2 x - 1 \cdot 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.5.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 + (- x^{2} - 2 x - 1) (2 x - 2)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.6

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(- x^{2} - 2 x - 1) (2 x - 2)$ を展開します。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.7.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.7.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.7.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.7.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.7.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.7.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.7.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.7.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot - 2 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.7.4

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.7.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.7.6

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.7.6.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.7.6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 2 \cdot 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.7.7

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} - 2 x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.7.8

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.7.9

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x - 2 x - 1 \cdot - 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.7.10

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 2 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} + 4 x - 2 x + 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.8

$2 x^{2}$ から $4 x^{2}$ を引きます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 2 x + 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.1.9

$4 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 2 - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x + 2 + 0 - 2 x^{2} + 2 x + 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.2.2

$- 2 x^{2} - 2 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x + 2 - 2 x^{2} + 2 x + 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.2.3

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 - 2 x^{2} + 0 + 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.2.4

$- 2 x^{2} + 2 - 2 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 - 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$- 2 x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 4 x^{2} + 2 + 2}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.4

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$4$ を $- 4 x^{2} + 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

$4$ を $- 4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4 (- x^{2}) + 4}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.2

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 (1)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.1.3

$4$ を $4 (- x^{2}) + 4 (1)$ で因数分解します。

$\frac{4 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{4 (- x^{2} + 1^{2})}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

$- x^{2}$ と $1^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{4 (1^{2} - x^{2})}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.3.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{4 (1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}$

ステップ 3.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{4 (1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - 2 x + 1^{2})}^{2}}$

ステップ 3.4.1.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 3.4.1.3

多項式を書き換えます。

$\frac{4 (1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}^{2}}$

ステップ 3.4.1.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{4 (1 + x) (1 - x)}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 3.4.2

${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{4 (1 + x) (1 - x)}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 3.4.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 (1 + x) (1 - x)}{{(x - 1)}^{4}}$

ステップ 3.4.3

二項定理を利用します。

$\frac{4 (1 + x) (1 - x)}{x^{4} + 4 x^{3} \cdot - 1 + 6 x^{2} {(- 1)}^{2} + 4 x {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}}$

ステップ 3.4.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 (1 + x) (1 - x)}{x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} {(- 1)}^{2} + 4 x {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}}$

ステップ 3.4.4.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{4 (1 + x) (1 - x)}{x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 1 + 4 x {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}}$

ステップ 3.4.4.3

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 (1 + x) (1 - x)}{x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{4}}$

ステップ 3.4.4.4

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{4 (1 + x) (1 - x)}{x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x \cdot - 1 + {(- 1)}^{4}}$

ステップ 3.4.4.5

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 (1 + x) (1 - x)}{x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + {(- 1)}^{4}}$

ステップ 3.4.4.6

$- 1$ を $4$ 乗します。

$\frac{4 (1 + x) (1 - x)}{x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1}$

ステップ 3.4.5

2項式の定理を利用して $x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1$ を因数分解します。

$\frac{4 (1 + x) (1 - x)}{{(1 - x)}^{4}}$

ステップ 3.5

$1 - x$ と ${(1 - x)}^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.1

$1 - x$ を $4 (1 + x) (1 - x)$ で因数分解します。

$\frac{(1 - x) (4 (1 + x))}{{(1 - x)}^{4}}$

ステップ 3.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$1 - x$ を ${(1 - x)}^{4}$ で因数分解します。

$\frac{(1 - x) (4 (1 + x))}{(1 - x) {(1 - x)}^{3}}$

ステップ 3.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(1 - x) (4 (1 + x))}{(1 - x) {(1 - x)}^{3}}$

ステップ 3.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4 (1 + x)}{{(1 - x)}^{3}}$

微分積分 例

微分積分例