微分積分例

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

ステップ 1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x^{4} + 27$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$4 \frac{(x^{4} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{(x^{4} + 27) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 3.2

$3$ を $x^{4} + 27$ の左に移動させます。

$4 \frac{3 \cdot (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 3.3

総和則では、 $x^{4} + 27$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ です。

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 3.4

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 3.5

$27$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $27$ の微分係数は $0$ です。

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$4 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 3.6.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 4

指数を足して $x^{3}$ に $x^{3}$ を掛けます。

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ステップ 4.1

$x^{3}$ を移動させます。

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 4.3

$3$ と $3$ をたし算します。

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 5

$4$ と $\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{4 (3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot 27 x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.4

分子を簡約します。

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ステップ 6.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.4.1.1

指数を足して $x^{4}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.4.1.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.4.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.4.1.1.3

$2$ と $4$ をたし算します。

$\frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.4.1.2

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.4.1.3

$3$ に $27$ をかけます。

$\frac{12 x^{6} + 4 (81 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.4.1.4

$81$ に $4$ をかけます。

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.4.1.5

$- 4$ に $4$ をかけます。

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

ステップ 6.4.2

$12 x^{6}$ から $16 x^{6}$ を引きます。

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例