微分積分例

$\frac{4 e^{9 x}}{7 x - 2}$

ステップ 1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 e^{9 x}}{7 x - 2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{9 x}}{7 x - 2}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{9 x}}{7 x - 2}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{9 x}$ および $g (x) = 7 x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$4 \frac{(7 x - 2) \frac{d}{d x} [e^{9 x}] - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 9 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $9 x$ とします。

$4 \frac{(7 x - 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [9 x]) - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$4 \frac{(7 x - 2) (e^{u} \frac{d}{d x} [9 x]) - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $9 x$ で置き換えます。

$4 \frac{(7 x - 2) (e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x]) - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{(7 x - 2) e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x]) - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{(7 x - 2) e^{9 x} (9 \cdot 1) - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$9$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{(7 x - 2) e^{9 x} \cdot 9 - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.3.2

$9$ を $(7 x - 2) e^{9 x}$ の左に移動させます。

$4 \frac{9 \cdot ((7 x - 2) e^{9 x}) - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.4

総和則では、 $7 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$4 \frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - e^{9 x} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.5

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - e^{9 x} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - e^{9 x} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.7

$7$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - e^{9 x} (7 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.8

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$4 \frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - e^{9 x} (7 + 0)}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.9

分数をまとめます。

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ステップ 4.9.1

$7$ と $0$ をたし算します。

$4 \frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - e^{9 x} \cdot 7}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.9.2

$7$ に $- 1$ をかけます。

$4 \frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - 7 e^{9 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 4.9.3

$4$ と $\frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - 7 e^{9 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{4 (9 (7 x - 2) e^{9 x} - 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 ((9 (7 x) + 9 \cdot - 2) e^{9 x} - 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (9 (7 x) e^{9 x} + 9 \cdot - 2 e^{9 x} - 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (9 (7 x) e^{9 x}) + 4 (9 \cdot - 2 e^{9 x}) + 4 (- 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 5.4

分子を簡約します。

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ステップ 5.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.1.1

$7$ に $9$ をかけます。

$\frac{4 (63 x e^{9 x}) + 4 (9 \cdot - 2 e^{9 x}) + 4 (- 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 5.4.1.2

$63$ に $4$ をかけます。

$\frac{252 (x e^{9 x}) + 4 (9 \cdot - 2 e^{9 x}) + 4 (- 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 5.4.1.3

$9$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{252 x e^{9 x} + 4 (- 18 e^{9 x}) + 4 (- 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 5.4.1.4

$- 18$ に $4$ をかけます。

$\frac{252 x e^{9 x} - 72 e^{9 x} + 4 (- 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 5.4.1.5

$- 7$ に $4$ をかけます。

$\frac{252 x e^{9 x} - 72 e^{9 x} - 28 e^{9 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 5.4.2

$- 72 e^{9 x}$ から $28 e^{9 x}$ を引きます。

$\frac{252 x e^{9 x} - 100 e^{9 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 5.5

項を並べ替えます。

$\frac{252 e^{9 x} x - 100 e^{9 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 5.6

$4 e^{9 x}$ を $252 e^{9 x} x - 100 e^{9 x}$ で因数分解します。

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ステップ 5.6.1

$4 e^{9 x}$ を $252 e^{9 x} x$ で因数分解します。

$\frac{4 e^{9 x} (63 x) - 100 e^{9 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 5.6.2

$4 e^{9 x}$ を $- 100 e^{9 x}$ で因数分解します。

$\frac{4 e^{9 x} (63 x) + 4 e^{9 x} (- 25)}{{(7 x - 2)}^{2}}$

ステップ 5.6.3

$4 e^{9 x}$ を $4 e^{9 x} (63 x) + 4 e^{9 x} (- 25)$ で因数分解します。

$\frac{4 e^{9 x} (63 x - 25)}{{(7 x - 2)}^{2}}$

微分積分 例

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