微分積分例

$\frac{3 x - 1}{\sqrt{x}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2

$f (x) = 3 x - 1$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

ステップ 4

簡約します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

ステップ 5

総和則では、 $3 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

ステップ 6

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

ステップ 7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

ステップ 8

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

ステップ 9

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (3 + 0) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

ステップ 10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

ステップ 10.2

$3$ を $x^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

ステップ 11

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

ステップ 12

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

ステップ 13

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

ステップ 14

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

ステップ 15

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

ステップ 15.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

ステップ 16

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

ステップ 17

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

ステップ 18

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + (- (3 x) - - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.1.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - 3 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.1.2

$- 3 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.1.2.1

$- 3$ と $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + x \frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.1.2.2

$x$ と $\frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.1.3

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot - 3 x^{- \frac{1}{2}}}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.1.4

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.1.4.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{1}{2}} x \cdot - 3}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.1.4.2

$x^{- \frac{1}{2}}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.1.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \cdot - 3}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.1.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot - 3}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.1.4.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot - 3}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.1.4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot - 3}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.1.4.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.1.5

$- 3$ を $x^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.1.7

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.1.8

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.2

$3 x^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.3

$3 x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.5.1

$3 x^{\frac{1}{2}}$ を $3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - 3 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.5.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{\frac{3 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.5.1.2

$3 x^{\frac{1}{2}}$ を $3 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} (2) - 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.5.1.3

$3 x^{\frac{1}{2}}$ を $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} (2) + 3 x^{\frac{1}{2}} (- 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.5.1.4

$3 x^{\frac{1}{2}}$ を $3 x^{\frac{1}{2}} (2) + 3 x^{\frac{1}{2}} (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} (2 - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.5.2

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.3.5.3

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.4.1

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ に $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

ステップ 19.4.2

まとめる。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

ステップ 19.4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

ステップ 19.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.4.4.1

$2$ を $2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (x^{\frac{1}{2}}) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

ステップ 19.4.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

ステップ 19.4.4.3

式を書き換えます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (3 x^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

ステップ 19.4.5

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.4.5.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

ステップ 19.4.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

ステップ 19.4.5.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

ステップ 19.4.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{\frac{2}{2}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

ステップ 19.4.5.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{x^{1} \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

ステップ 19.4.6

$x^{1} \cdot 3$ を簡約します。

$\frac{x \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

ステップ 19.4.7

$2 x^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.4.7.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

ステップ 19.4.7.2

式を書き換えます。

$\frac{x \cdot 3 + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

ステップ 19.4.8

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

ステップ 19.4.9

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 x + 1}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 19.4.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 x + 1}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

ステップ 19.4.11

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{3 x + 1}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

ステップ 19.4.12

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 x + 1}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

ステップ 19.4.13

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 x + 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例