微分積分例

$\frac{4}{x^{4}} - 5 \sqrt[3]{x}$

ステップ 1

総和則では、 $\frac{4}{x^{4}} - 5 \sqrt[3]{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{4}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4}{x^{4}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x^{4}}$ を ${(x^{4})}^{- 1}$ に書き換えます。

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

ステップ 2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{4}$ とします。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

ステップ 2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{4}$ で置き換えます。

$4 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

ステップ 2.4

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

ステップ 2.5

${(x^{4})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

ステップ 2.5.2

$4$ に $- 2$ をかけます。

$4 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

ステップ 2.6

$4$ に $- 1$ をかけます。

$4 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

ステップ 2.7

指数を足して $x^{- 8}$ に $x^{3}$ を掛けます。

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ステップ 2.7.1

$x^{3}$ を移動させます。

$4 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

ステップ 2.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

ステップ 2.7.3

$3$ から $8$ を引きます。

$4 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

ステップ 2.8

$- 4$ に $4$ をかけます。

$- 16 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- 5 \sqrt[3]{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$- 16 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 3.2

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{\frac{1}{3}}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ です。

$- 16 x^{- 5} - 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 3.3

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

ステップ 3.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 3.5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 3.6

公分母の分子をまとめます。

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 3.7

分子を簡約します。

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ステップ 3.7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

ステップ 3.7.2

$1$ から $3$ を引きます。

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

ステップ 3.8

分数の前に負数を移動させます。

$- 16 x^{- 5} - 5 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 3.9

$\frac{1}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$- 16 x^{- 5} - 5 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 3.10

$- 5$ と $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ をまとめます。

$- 16 x^{- 5} + \frac{- 5 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 3.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$- 16 x^{- 5} + \frac{- 5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 3.12

分数の前に負数を移動させます。

$- 16 x^{- 5} - \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 16 \frac{1}{x^{5}} - \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$- 16$ と $\frac{1}{x^{5}}$ をまとめます。

$\frac{- 16}{x^{5}} - \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{16}{x^{5}} - \frac{5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

微分積分 例

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