微分積分例

$\frac{4 - 2 x^{4} + x^{5}}{x^{9}}$

ステップ 1

$f (x) = 4 - 2 x^{4} + x^{5}$ および $g (x) = x^{9}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{9} \frac{d}{d x} [4 - 2 x^{4} + x^{5}] - (4 - 2 x^{4} + x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{9}]}{{(x^{9})}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

${(x^{9})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{9} \frac{d}{d x} [4 - 2 x^{4} + x^{5}] - (4 - 2 x^{4} + x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{9 \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2

$9$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{9} \frac{d}{d x} [4 - 2 x^{4} + x^{5}] - (4 - 2 x^{4} + x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

ステップ 2.2

総和則では、 $4 - 2 x^{4} + x^{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$\frac{x^{9} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{5}]) - (4 - 2 x^{4} + x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

ステップ 2.3

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{9} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{5}]) - (4 - 2 x^{4} + x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

ステップ 2.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ をたし算します。

$\frac{x^{9} (\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{5}]) - (4 - 2 x^{4} + x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

ステップ 2.5

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{4}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{x^{9} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{5}]) - (4 - 2 x^{4} + x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

ステップ 2.6

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{9} (- 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{5}]) - (4 - 2 x^{4} + x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

ステップ 2.7

$4$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{x^{9} (- 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{5}]) - (4 - 2 x^{4} + x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

ステップ 2.8

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{9} (- 8 x^{3} + 5 x^{4}) - (4 - 2 x^{4} + x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{9}]}{x^{18}}$

ステップ 2.9

$n = 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{9} (- 8 x^{3} + 5 x^{4}) - (4 - 2 x^{4} + x^{5}) (9 x^{8})}{x^{18}}$

ステップ 2.10

くくりだして簡約します。

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ステップ 2.10.1

$9$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{9} (- 8 x^{3} + 5 x^{4}) - 9 (4 - 2 x^{4} + x^{5}) x^{8}}{x^{18}}$

ステップ 2.10.2

$x^{8}$ を $x^{9} (- 8 x^{3} + 5 x^{4}) - 9 (4 - 2 x^{4} + x^{5}) x^{8}$ で因数分解します。

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ステップ 2.10.2.1

$x^{8}$ を $x^{9} (- 8 x^{3} + 5 x^{4})$ で因数分解します。

$\frac{x^{8} (x (- 8 x^{3} + 5 x^{4})) - 9 (4 - 2 x^{4} + x^{5}) x^{8}}{x^{18}}$

ステップ 2.10.2.2

$x^{8}$ を $- 9 (4 - 2 x^{4} + x^{5}) x^{8}$ で因数分解します。

$\frac{x^{8} (x (- 8 x^{3} + 5 x^{4})) + x^{8} (- 9 (4 - 2 x^{4} + x^{5}))}{x^{18}}$

ステップ 2.10.2.3

$x^{8}$ を $x^{8} (x (- 8 x^{3} + 5 x^{4})) + x^{8} (- 9 (4 - 2 x^{4} + x^{5}))$ で因数分解します。

$\frac{x^{8} (x (- 8 x^{3} + 5 x^{4}) - 9 (4 - 2 x^{4} + x^{5}))}{x^{18}}$

ステップ 3

共通因数を約分します。

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ステップ 3.1

$x^{8}$ を $x^{18}$ で因数分解します。

$\frac{x^{8} (x (- 8 x^{3} + 5 x^{4}) - 9 (4 - 2 x^{4} + x^{5}))}{x^{8} x^{10}}$

ステップ 3.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{8} (x (- 8 x^{3} + 5 x^{4}) - 9 (4 - 2 x^{4} + x^{5}))}{x^{8} x^{10}}$

ステップ 3.3

式を書き換えます。

$\frac{x (- 8 x^{3} + 5 x^{4}) - 9 (4 - 2 x^{4} + x^{5})}{x^{10}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (- 8 x^{3}) + x (5 x^{4}) - 9 (4 - 2 x^{4} + x^{5})}{x^{10}}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x (- 8 x^{3}) + x (5 x^{4}) - 9 \cdot 4 - 9 (- 2 x^{4}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

ステップ 4.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- 8 x \cdot x^{3} + x (5 x^{4}) - 9 \cdot 4 - 9 (- 2 x^{4}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

ステップ 4.3.1.2

指数を足して $x$ に $x^{3}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.2.1

$x^{3}$ を移動させます。

$\frac{- 8 (x^{3} x) + x (5 x^{4}) - 9 \cdot 4 - 9 (- 2 x^{4}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

ステップ 4.3.1.2.2

$x^{3}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 8 (x^{3} x^{1}) + x (5 x^{4}) - 9 \cdot 4 - 9 (- 2 x^{4}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

ステップ 4.3.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 8 x^{3 + 1} + x (5 x^{4}) - 9 \cdot 4 - 9 (- 2 x^{4}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

ステップ 4.3.1.2.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 8 x^{4} + x (5 x^{4}) - 9 \cdot 4 - 9 (- 2 x^{4}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

ステップ 4.3.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- 8 x^{4} + 5 x \cdot x^{4} - 9 \cdot 4 - 9 (- 2 x^{4}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

ステップ 4.3.1.4

指数を足して $x$ に $x^{4}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1.4.1

$x^{4}$ を移動させます。

$\frac{- 8 x^{4} + 5 (x^{4} x) - 9 \cdot 4 - 9 (- 2 x^{4}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

ステップ 4.3.1.4.2

$x^{4}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 4.3.1.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 8 x^{4} + 5 (x^{4} x^{1}) - 9 \cdot 4 - 9 (- 2 x^{4}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

ステップ 4.3.1.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 8 x^{4} + 5 x^{4 + 1} - 9 \cdot 4 - 9 (- 2 x^{4}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

ステップ 4.3.1.4.3

$4$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 8 x^{4} + 5 x^{5} - 9 \cdot 4 - 9 (- 2 x^{4}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

ステップ 4.3.1.5

$- 9$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 8 x^{4} + 5 x^{5} - 36 - 9 (- 2 x^{4}) - 9 x^{5}}{x^{10}}$

ステップ 4.3.1.6

$- 2$ に $- 9$ をかけます。

$\frac{- 8 x^{4} + 5 x^{5} - 36 + 18 x^{4} - 9 x^{5}}{x^{10}}$

ステップ 4.3.2

$- 8 x^{4}$ と $18 x^{4}$ をたし算します。

$\frac{10 x^{4} + 5 x^{5} - 36 - 9 x^{5}}{x^{10}}$

ステップ 4.3.3

$5 x^{5}$ から $9 x^{5}$ を引きます。

$\frac{10 x^{4} - 4 x^{5} - 36}{x^{10}}$

ステップ 4.4

項を並べ替えます。

$\frac{- 4 x^{5} + 10 x^{4} - 36}{x^{10}}$

ステップ 4.5

$2$ を $- 4 x^{5} + 10 x^{4} - 36$ で因数分解します。

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ステップ 4.5.1

$2$ を $- 4 x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x^{5}) + 10 x^{4} - 36}{x^{10}}$

ステップ 4.5.2

$2$ を $10 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x^{5}) + 2 (5 x^{4}) - 36}{x^{10}}$

ステップ 4.5.3

$2$ を $- 36$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x^{5}) + 2 (5 x^{4}) + 2 (- 18)}{x^{10}}$

ステップ 4.5.4

$2$ を $2 (- 2 x^{5}) + 2 (5 x^{4})$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x^{5} + 5 x^{4}) + 2 (- 18)}{x^{10}}$

ステップ 4.5.5

$2$ を $2 (- 2 x^{5} + 5 x^{4}) + 2 (- 18)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 2 x^{5} + 5 x^{4} - 18)}{x^{10}}$

ステップ 4.6

$- 1$ を $- 2 x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (2 x^{5}) + 5 x^{4} - 18)}{x^{10}}$

ステップ 4.7

$- 1$ を $5 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (2 x^{5}) - (- 5 x^{4}) - 18)}{x^{10}}$

ステップ 4.8

$- 1$ を $- (2 x^{5}) - (- 5 x^{4})$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (2 x^{5} - 5 x^{4}) - 18)}{x^{10}}$

ステップ 4.9

$- 18$ を $- 1 (18)$ に書き換えます。

$\frac{2 (- (2 x^{5} - 5 x^{4}) - 1 (18))}{x^{10}}$

ステップ 4.10

$- 1$ を $- (2 x^{5} - 5 x^{4}) - 1 (18)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- (2 x^{5} - 5 x^{4} + 18))}{x^{10}}$

ステップ 4.11

$- (2 x^{5} - 5 x^{4} + 18)$ を $- 1 (2 x^{5} - 5 x^{4} + 18)$ に書き換えます。

$\frac{2 (- 1 (2 x^{5} - 5 x^{4} + 18))}{x^{10}}$

ステップ 4.12

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 (2 x^{5} - 5 x^{4} + 18)}{x^{10}}$

微分積分 例

微分積分例