微分積分例

$\frac{7 + \sin (x)}{7 x + \cos (x)}$

ステップ 1

$f (x) = 7 + \sin (x)$ および $g (x) = 7 x + \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(7 x + \cos (x)) \frac{d}{d x} [7 + \sin (x)] - (7 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [7 x + \cos (x)]}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $7 + \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$\frac{(7 x + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (7 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [7 x + \cos (x)]}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 2.2

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(7 x + \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (7 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [7 x + \cos (x)]}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ をたし算します。

$\frac{(7 x + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - (7 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [7 x + \cos (x)]}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 3

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$\frac{(7 x + \cos (x)) \cos (x) - (7 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [7 x + \cos (x)]}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、 $7 x + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{(7 x + \cos (x)) \cos (x) - (7 + \sin (x)) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 4.2

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(7 x + \cos (x)) \cos (x) - (7 + \sin (x)) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(7 x + \cos (x)) \cos (x) - (7 + \sin (x)) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 4.4

$7$ に $1$ をかけます。

$\frac{(7 x + \cos (x)) \cos (x) - (7 + \sin (x)) (7 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 5

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$\frac{(7 x + \cos (x)) \cos (x) - (7 + \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{7 x \cos (x) + \cos (x) \cos (x) - (7 + \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{7 x \cos (x) + \cos (x) \cos (x) + (- 1 \cdot 7 - \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1

$\cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + (- 1 \cdot 7 - \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.1.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + (- 1 \cdot 7 - \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{7 x \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + (- 1 \cdot 7 - \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) + (- 1 \cdot 7 - \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.2

$- 1$ に $7$ をかけます。

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) + (- 7 - \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(- 7 - \sin (x)) (7 - \sin (x))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 7 (7 - \sin (x)) - \sin (x) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 7 \cdot 7 - 7 (- \sin (x)) - \sin (x) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 7 \cdot 7 - 7 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 7 - \sin (x) (- \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.3.1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.4.1.1

$- 7$ に $7$ をかけます。

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 - 7 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 7 - \sin (x) (- \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.4.1.2

$- 1$ に $- 7$ をかけます。

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - \sin (x) \cdot 7 - \sin (x) (- \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.4.1.3

$7$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - 7 \sin (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.4.1.4

$- \sin (x) (- \sin (x))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.4.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - 7 \sin (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.4.1.4.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - 7 \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.4.1.4.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - 7 \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.4.1.4.4

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - 7 \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.4.1.4.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - 7 \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.4.1.4.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - 7 \sin (x) + \sin^{2} (x)}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.4.2

$7 \sin (x)$ から $7 \sin (x)$ を引きます。

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 0 + \sin^{2} (x)}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.1.4.3

$- 49$ と $0$ をたし算します。

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + \sin^{2} (x)}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.2

$\sin^{2} (x)$ を移動させます。

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) - 49}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.3

項を並べ替えます。

$\frac{7 x \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 49}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.4

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{7 x \cos (x) + 1 - 49}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

ステップ 6.3.5

$1$ から $49$ を引きます。

$\frac{7 x \cos (x) - 48}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

微分積分 例

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