微分積分例

$\frac{7 x^{2} + 5 x^{9}}{4 x^{7}}$

ステップ 1

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{7 x^{2} + 5 x^{9}}{4 x^{7}}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{7 x^{2} + 5 x^{9}}{x^{7}}]$ です。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{7 x^{2} + 5 x^{9}}{x^{7}}]$

ステップ 2

$x^{2}$ を $7 x^{2} + 5 x^{9}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x^{2}$ を $7 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \cdot 7 + 5 x^{9}}{x^{7}}]$

ステップ 2.2

$x^{2}$ を $5 x^{9}$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \cdot 7 + x^{2} (5 x^{7})}{x^{7}}]$

ステップ 2.3

$x^{2}$ を $x^{2} \cdot 7 + x^{2} (5 x^{7})$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (7 + 5 x^{7})}{x^{7}}]$

ステップ 3

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x^{2}$ を $x^{7}$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (7 + 5 x^{7})}{x^{2} x^{5}}]$

ステップ 3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (7 + 5 x^{7})}{x^{2} x^{5}}]$

ステップ 3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{7 + 5 x^{7}}{x^{5}}]$

ステップ 4

$f (x) = 7 + 5 x^{7}$ および $g (x) = x^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [7 + 5 x^{7}] - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

${(x^{5})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [7 + 5 x^{7}] - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

ステップ 5.1.2

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [7 + 5 x^{7}] - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 5.2

総和則では、 $7 + 5 x^{7}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [5 x^{7}]$ です。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [5 x^{7}]) - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 5.3

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} (0 + \frac{d}{d x} [5 x^{7}]) - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 5.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [5 x^{7}]$ をたし算します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [5 x^{7}] - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 5.5

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{7}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ です。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} (5 \frac{d}{d x} [x^{7}]) - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 5.6

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} (5 (7 x^{6})) - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 5.7

$7$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{5} (35 x^{6}) - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 6

指数を足して $x^{5}$ に $x^{6}$ を掛けます。

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ステップ 6.1

$x^{6}$ を移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6} x^{5} \cdot 35 - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{6 + 5} \cdot 35 - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 6.3

$6$ と $5$ をたし算します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{11} \cdot 35 - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 7

$35$ を $x^{11}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{35 \cdot x^{11} - (7 + 5 x^{7}) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 8

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{35 x^{11} - (7 + 5 x^{7}) (5 x^{4})}{x^{10}}$

ステップ 9

分数をまとめます。

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ステップ 9.1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{35 x^{11} - 5 (7 + 5 x^{7}) x^{4}}{x^{10}}$

ステップ 9.2

$\frac{1}{4}$ に $\frac{35 x^{11} - 5 (7 + 5 x^{7}) x^{4}}{x^{10}}$ をかけます。

$\frac{35 x^{11} - 5 (7 + 5 x^{7}) x^{4}}{4 x^{10}}$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{35 x^{11} + (- 5 \cdot 7 - 5 (5 x^{7})) x^{4}}{4 x^{10}}$

ステップ 10.2

分配則を当てはめます。

$\frac{35 x^{11} - 5 \cdot 7 x^{4} - 5 (5 x^{7}) x^{4}}{4 x^{10}}$

ステップ 10.3

分子を簡約します。

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ステップ 10.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.3.1.1

$- 5$ に $7$ をかけます。

$\frac{35 x^{11} - 35 x^{4} - 5 (5 x^{7}) x^{4}}{4 x^{10}}$

ステップ 10.3.1.2

指数を足して $x^{7}$ に $x^{4}$ を掛けます。

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ステップ 10.3.1.2.1

$x^{4}$ を移動させます。

$\frac{35 x^{11} - 35 x^{4} - 5 (5 (x^{4} x^{7}))}{4 x^{10}}$

ステップ 10.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{35 x^{11} - 35 x^{4} - 5 (5 x^{4 + 7})}{4 x^{10}}$

ステップ 10.3.1.2.3

$4$ と $7$ をたし算します。

$\frac{35 x^{11} - 35 x^{4} - 5 (5 x^{11})}{4 x^{10}}$

ステップ 10.3.1.3

$5$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{35 x^{11} - 35 x^{4} - 25 x^{11}}{4 x^{10}}$

ステップ 10.3.2

$35 x^{11}$ から $25 x^{11}$ を引きます。

$\frac{10 x^{11} - 35 x^{4}}{4 x^{10}}$

ステップ 10.4

$5 x^{4}$ を $10 x^{11} - 35 x^{4}$ で因数分解します。

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ステップ 10.4.1

$5 x^{4}$ を $10 x^{11}$ で因数分解します。

$\frac{5 x^{4} (2 x^{7}) - 35 x^{4}}{4 x^{10}}$

ステップ 10.4.2

$5 x^{4}$ を $- 35 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{5 x^{4} (2 x^{7}) + 5 x^{4} (- 7)}{4 x^{10}}$

ステップ 10.4.3

$5 x^{4}$ を $5 x^{4} (2 x^{7}) + 5 x^{4} (- 7)$ で因数分解します。

$\frac{5 x^{4} (2 x^{7} - 7)}{4 x^{10}}$

ステップ 10.5

$x^{4}$ と $x^{10}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.5.1

$x^{4}$ を $5 x^{4} (2 x^{7} - 7)$ で因数分解します。

$\frac{x^{4} (5 (2 x^{7} - 7))}{4 x^{10}}$

ステップ 10.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.5.2.1

$x^{4}$ を $4 x^{10}$ で因数分解します。

$\frac{x^{4} (5 (2 x^{7} - 7))}{x^{4} (4 x^{6})}$

ステップ 10.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{4} (5 (2 x^{7} - 7))}{x^{4} (4 x^{6})}$

ステップ 10.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{5 (2 x^{7} - 7)}{4 x^{6}}$

微分積分 例

微分積分例