微分積分例

$4 \sqrt{x y}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x y}$ を ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [4 {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x y$ とします。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y])$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x y$ で置き換えます。

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ と ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$4 (\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x y])$

ステップ 9

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$4 (\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y])$

ステップ 10

$\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 11

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 12

共通因数を約分します。

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ステップ 12.1

$2$ を $2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(x y)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 12.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 12.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 13

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{2}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 14

分数をまとめます。

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ステップ 14.1

$y$ と $\frac{2}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{y \cdot 2}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 14.2

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot y}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 15

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 y}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 16

$\frac{2 y}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 y}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17

簡約します。

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ステップ 17.1

積の法則を $x y$ に当てはめます。

$\frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2

項をまとめます。

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ステップ 17.2.1

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $y^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{2 y \cdot y^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2.2

指数を足して $y$ に $y^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 17.2.2.1

$y^{- \frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{2 (y^{- \frac{1}{2}} y)}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2.2.2

$y^{- \frac{1}{2}}$ に $y$ をかけます。

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ステップ 17.2.2.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (y^{- \frac{1}{2}} y^{1})}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 y^{- \frac{1}{2} + 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{2 y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 y^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2.2.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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